Per rispondere alla domanda bisogna partire da alcuni presupposti. Prendiamo ad esempio in considerazione la quota massima raggiunta da un sasso lanciato in aria, o analogamente di un uomo che salta, trascurando l’attrito.
Si puo` usare la formula della conservazione dell’energia nella forma più semplice:
(1)
da cui
(2)
dove m è la massa del corpo, v la velocità, g l’accelerazione di gravità, h la quota raggiunta rispetto a quella della posizione originale.
Sulla Terra g vale 9.8 m/s2. Per un qualunque astro possiamo calcolare g con la seguente formula: g=GM/R2, con M massa dell’astro (provare per credere con la Terra, dove M=6.1024 kg e R=6.36.106m).
Un uomo in cammino “salta” meno di 50 cm (realisticamente possiamo dire di compiere balzi in alto del nostro baricentro dell’ordine di 20-30 cm), pertanto
dalla (2) con variazioni di quota di 20-30 cm otteniamo una velocità di circa 2 m/s (7 km/h) anche se in realtà il valore non è troppo significativo perché il piede compie una serie di spinte con i muscoli, il che è ben diverso dal calcolo ideale di una spinta singola.
Possiamo pure assumere il record di salto in alto di Sotomayor (2.45 m). Anche in questo caso il calcolo non sarà troppo significativo dal momento che in realtà il salto è una combinazione di rincorsa e di deformazione del corpo dell’altleta. Per amor di calcolo comunque otteniamo un valore di 6-7 m/s. I centometristi raggiungono una velocità di punta di circa 11 m/s, poco meno di 40 km/h. In questo caso si tratta di una velocità raggiunta mediante una serie di passi di corsa sulla Terra.
Comunque è il più grande dei valori finora detrminati. Assumiamo dunque questo come valore massimo possibile.
Occorre ancora calcolare la massa di un singolo asteroide. Possiamo utilizzare la formula: M= V ρ, con M per la massa e ρ per la densità.
In prima approssimazione consideriamo l’asteroide sferico. Il volume sarà dato da 4/3 π R3 . Non è facile stabilire la densità, ci sono comunque alcune grandi famiglie, come quella degli asteroidi con discreto contenuto metallico e quella degli asteroidi rocciosi (i meno densi). Per essi possiamo assumere una densità pari a quella delle rocce terrestri (2500-3000 kg/m3).
Per questi astri poco densi si ha
(3)
(notare che per la Terra il calcolo produce un g non corretto, avendo una densità al centro superiore a quella delle rocce superficiali).
Se un asteroide è molto piccolo l’approssimazione a g costante non è corretta e dobbiamo sostituire la formula della velocità con v2=2gh con v2=2GM/R.
Possiamo allora calcolare che da un asteroide non si fugge alla sua attrazione gravitazionale se
(4)
nell’ipotesi di assumere una forma approssimativamente sferica.
Ponendo v=11 m/s si ottiene un valore per R di circa 8.103 m (circa 10 km).
Su tutti gli asteroidi che superano i 10 km di raggio, neanche Sotomayor e Carl Lewis riuscirebbero ad entrare in orbita, anche ammettendo che si tratti di asteroidi poco massivi (e se non ci riescono loro figuriamoci i comuni mortali!). Il raggio potrebbe ulteriormente diminuire al crescere della densità.
Asteroidi di queste dimensioni sono comunissimi, anzi sono la maggioranza anche se di difficile individuazione. Infatti più sono piccoli più diventa difficile individuarli. Si conoscono 1500 oggetti che superano il chilometro di diametro e 135000 più grandi di 100 m. Chissà ancora quanti dovranno essere individuati!
Esiste una relazione secondo la quale il numero aumenta in funzione dell’inverso del quadrato del diametro (la massa invece ne dipende dalla quarta potenza).
Stime specifiche di massa e diametro per ciascun corpo (che sono i paramentri che in definitiva interessano per i nostri scopi) si possono ottenere solo se ad esso orbita intorno un satellite. L’asteroide Ida, avvicinato dalla sonda Galileo in viaggio verso Giove, ha un satellite per cui la sua massa è ben nota, ed anche le sue dimensioni di circa 30 km. E’ valore un po’ superiore a quello da noi richiesto.
Per gli altri corpi si ricorre a stime di magnitudine ed albedo (il
parametro che determina quanta radiazione solare è capace di
riflettere). Note le dimensioni, la massa si ricava dalla relazione
esposta sopra sul numero di asteroidi in funzione del diametro,
combinata con l’analoga formula sulla massa.
In conclusione, noi uomini comuni, con una struttura muscolare adatta
alla vita sulla Terra, tutte le volte che decidessimo di fare una
passeggiata, ci ritroveremmo a fare ad ogni passo un balzo di svariati
chilometri e, semplicemente passeggiando, sfuggire all’attrazione
gravitazionale, se ci trovassimo su uno degli oltre 35000 asteroidi rocciosi di 1.5 km di
raggio (il raggio potrebbe ulteriormente ridursi su corpi a contenuto metallico, di maggiore densità). Tanto per fare alcuni
esempi di astri che non impedirebbero di far saltare in orbita un
abitante che camminasse sulla sua superficie, citiamo Apophis, XF11,
2004 FH (tutti corpi che passeranno o sono passati vicini alla Terra e
che per questo le loro dimensioni sono conosciute alquanto
accuratamente), ma possiamo aggiungere anche i satelliti Deimos, Leda.
Adrastrea e per finire anche la cometa di Halley che, pur essendo un
tantino più grande, in quanto
cometa, ha pure una densità bassa e conosciuta e quindi con una massa
non sufficiente a trattenere eventuali suoi passeggiatori.
Occorre comunque precisare che più i corpi sono piccoli, più
difficilmente assumono una forma sferica, il che farebbe avvertire
delle variazioni della forza di gravità da punto a punto. Su alcune “patate” molto allungate si potrebbe giungere alla situazione di poter sfuggire da alcune regioni e di non sfuggire da altre regioni superficiali.