La teoria della Relatività Generale ci insegna che lo spazio non
è un semplice contenitore degli oggetti e degli eventi, ma
possiede una propria struttura, e questa struttura viene determinata
dalla presenza di materia ed energia. Tramite la propria gravità,
queste ultime modificano infatti la geometria dello spazio, o, in
termini più tecnici, la sua curvatura. Nel 1915 Einstein
formulò un insieme di equazioni, che oggi portano il suo nome,
che mettono in relazione le proprietà geometriche dello spazio
con la quantità di massa-energia presente.
Queste equazioni sono estremamente complicate, ma possono essere
risolte in certi casi speciali. L’esempio più semplice è
costituito da una configurazione sferica e in quiete di
materia (ad esempio una stella o un pianeta). In questo caso, la
geometria dello spazio è descritta dalla famosa soluzione di
Schwarzschild, che rappresenta lo spazio-tempo attorno ad un buco
nero.
In generale, lo studio della geometria dello spazio quando la materia
che lo influenza non è a riposo diventa molto più
complicato. Il teorema di Birkhoff permette di fare un ulteriore passo
in avanti: per una configurazione sferica di massa-energia, anche nel
caso in cui questa non sia a riposo, la geometria dello spazio
circostante è sempre quella di Schwarzschild. In particolare,
siccome quest’ultima è una geometria statica, cioè non
dipendente dal tempo, lo spazio esterno è a sua volta statico,
indipendentemente dallo stato di quiete o meno della materia che lo
genera. Si noti che questo risultato riguarda solo la porzione di spazio
al di fuori alla materia.
Facciamo un esempio più concreto: consideriamo una stella
sferica, la cui massa distorce lo spazio circostante, e genera una
geometria di Schwarzschild. Supponiamo ora che la stella cominci a
pulsare (gonfiandosi e sgonfiandosi ritmicamente), ma rimanendo ad ogni
istante perfettamente sferica. Il teorema di Birkhoff garantisce che lo
spazio esterno non risentirà in alcun modo della pulsazione. Allo
stesso modo, quando una stella subisce un collasso (riduce cioè
enormemente il proprio volume), fintanto che l’implosione si mantiene
sferica, lo spazio circostante rimane immutato. Questo è, per
inciso, il motivo per cui le onde gravitazionali sono
estremamente deboli: essendo perturbazioni dello spazio che si
propagano, e quindi non statiche, non posso essere generate da alcuna
configurazione sferica; esse possono sorgere unicamente in presenza
delle piccole asimmetrie presenti nelle stelle reali, che sono solo
approssimativamente sferiche.
Si noti però che se la stella
ruota su stessa, il teorema di Birkhoff non è più
applicabile. Infatti, in questo caso esiste una direzione privilegiata
(quella individuata dall’asse di rotazione), e quindi la simmetria
sferica viene rotta.
Il teorema di Birkhoff trova le sue più notevoli applicazioni
nello studio delle stelle e dei buchi neri. Tuttavia, anche l’Universo
nel suo insieme può essere approssimato come una grande sfera di
materia, di raggio molto grande (in pratica infinito). Le equazioni che
regolano la dinamica dell’Universo (le equazioni di Friedmann,
che regolano il suo tasso di espansione o contrazione) possono essere
facilmente ricavate proprio tenendo conto di questa approssimazione ed
utilizzando il teorema di Birkhoff.