Vorrei sapere la formula che permetta di calcolare la sommatoria dei primi n numeri elevati alla m.

È in effetti possibile dimostrare che la somma delle potenze m-esime dei primi n numeri naturali può venire espressa da un polinomio di grado m + 1 nella variabile n, cioè che esistono dei coefficienti a0, a1, …, am, am+1 tali che

Il problema è allora determinare questi m + 2 coefficienti.

      Notiamo subito che la sommatoria può inizare indifferentemente da k = 0 o da k = 1 (il termine 0m non da infatti nessun contributo alla somma) e che, dal momento che pm(0) = a0 e che deve quindi essere a0 = 0. Rimangono quindi da determinare le m+1 incognite a1, …, am, am+1.

      Si osservi che, se la formula scritta sopra è vera, ci devono essere due modi che permettono di calcolare la somma delle potenze m-esime dei primi n + 1 numeri naturali: da una parte si può calcolare pm in corrispondenza al valore n + 1 della variabile, dall'altra si può aggiungere (n + 1)m alla somma delle prime n potenze m-esime. Ricordando anche la formula di newton per lo sviluppo della potenza di un binomio, si ottengono allora le due uguaglianze

      Applicando il principio di identità dei polinomi (due polinomi sono uguali se e soltanto se hanno gli stessi coefficienti), e osservando che i termini di grado m + 1 sono sempre uguali, si ottiene il sistema di m + 1 equazioni

nelle m + 1 incognite a1, …, am+1. Ricordando che per ogni i, tale sistema si semplifica subito nel sistema equivalente

      La matrice dei coefficienti di quest'ultimo sistema è triangolare superiore di determinante , quindi tale sistema ammette sempre un'unica soluzione. Tale soluzione, tuttavia, assume una forma un po' troppo complessa per essere scritta in una formula esplicita dipendente da m, per cui converrà risolvere il sistema "a mano" per il valore di m al quale si sia volta per volta interessati.

      Scrivendo in modo esteso il sistema qui sopra, si trova

che, evidentemente, può essere risolto in modo elementare per sostituzione "a cascata" partendo dall'ultima equazione. Per inciso, la soluzione dell'ultima equazione è am+1 = 1 / (m + 1) simile alla am+1 = 1 / m suggerita dal lettore (ma sono sicuro che si tratta di un refuso); è anche immediato verificare che sostituendo tale valore nella penultima equazione e semplificando si ottiene effettivamente am = 1 / 2.

      A titolo di esempio, usiamo questo metodo per determinare la somma dei primi n numeri e dei primi n quadrati. Per m = 1 il sistema diventa

da cui si ottiene quindi il noto risultato . Analogamente, per m = 2 si ottiene il sistema

da cui Al lettore il compito di ritrovare, usando questo sistema e un po' di fattorizzazione dei polinomi, che valgono le uguaglianze


Su segnalazione di Roberto Sacco, che ringrazio, riporto anche un altro sistema per raggiungere le stesse conclusioni. È immediato (per calcolo diretto, o usando i prodotti notevoli appresi nella scuola superiore) verificare che l'uguaglianza (k + 1)2 – k2 = 2k + 1 vale qualsiasi sia k. In particolare, scrivendo tale uguaglianza sostituendo a k i valori n, n – 1, …, 2, 1 si ottengono le n uguaglianze

Sommando tra loro tutti i membri sinistri e tutti i membri destri di queste uguaglianze si trova

Da cui si ottiene

Analogamente, dopo aver dimostrato che (k + 1)3 – k3 = 3k2 + 3k + 1 si ottiengono le n uguaglianze

che sommate membro a membro danno

da cui, utilizzando anche l'espressione della somma dei primi n numeri ricavata in precedenza, si ottiene

Questo metodo è indubbiamente più diretto e elementare del precedente, ed è senz'altro preferibile se l'intento è quello di trovare le formule per calcolare le somme di tutte le potenze m-esime dei primi numeri naturali con m che varia da 1 a un naturale arbitrario. A differenza del precedente, però, questo metodo non permette di determinare tale formula in corrispondenza solo di un particolare valore di m.