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13-08-2003

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Qual è la probabilità di fare scopa all'apertura delle carte?

(Risponde Gino Favero)

È vero, il problema sottoposto dal lettore è decisamente complicato. Niente male come esordio, no? Mi si lasci anche aggiungere che la suddivisione in "sottoproblemi" proposta dal lettore non ci sarebbe di nessun aiuto, perchè il fatto di sapere quale carta viene messa in tavola dal giocatore "primo di mano" non ci è di nessun aiuto: per fare "scopa" la condizione è quella di avere in mano una carta dello stesso valore, non importa quale esso sia (preciso che mi riferisco al gioco dello scopone scientifico, senza "scopa d'asso"). È invece decisamente buona (come sempre!) l'idea di scomporre il problema in altri problemi più piccoli e semplici, sperando che unirne le soluzioni dia in modo altrettanto semplice la soluzione del problema di partenza.

      La chiave per scomporre il problema, come spesso accade con i problemi di probabilità, è la cosiddetta formula delle probabilità totali: se A1, A2, ..., An è una famiglia di eventi (cioè di insiemi di "casi", laddove "caso" è un termine leggermente improprio rispetto all'ufficiale "evento elementare" ma -- credo -- comprensibile in modo piuttosto diretto) la cui unione esaurisce tutti i casi possibili, allora per ogni evento B vale la relazione

P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An),

dove con la scrittura P(B|A) si indica la probabilità condizionata dell'evento B rispetto all'evento A, che si calcola secondo la formula P(B|A) = P(B  A) / P(A) (per qualche dettaglio in più sulla probabilità condizionata e sul modo in cui può essere calcolata negli spazi di probabilità uniforme si dia un'occhiata anche alla mia risposta sul lancio ripetuto di una moneta). Notiamo che perché la nozione di probabilità condizionata abbia un significato, bisogna supporre che l'evento condizionante sia maggiore di zero: tale ipotesi si deve allora applicare a tutti gli eventi condizionanti A1, A2, ..., An nella formula delle probabilità totali.

      Tentiamo di applicare questa formula al caso del gioco dello scopone. Per comodità di riferimento, mi si permetta di chiamare (prendendo a prestito una consuetudine che si usa nel gioco del bridge) S ("sud") il primo giocatore di mano e E ("est") il secondo. Chiamiamo B l'evento "E possiede la carta che ha giocato S" (cioè, E è nelle condizioni di poter fare scopa e si suppone quindi che la faccia) e calcoliamo le probabilità condizionate ai quattro eventi Ai = "S ha giocato una carta di un gruppo di i", con i che varia da uno a quattro. Per esempio, insomma, l'evento A2 indica il fatto che S aveva in mano una coppia di carte di un certo valore (non importa quale) e ha scelto di giocare una di quelle due, così come l'evento A4 indica il fatto che S aveva in mano tutte e quattro le carte di un certo valore e ne ha giocata una. La scelta di questi quattro eventi condizionanti è data dal fatto che ci è piuttosto facile calcolare le probabilità condizionate in questi quattro casi:

  • se la carta giocata da S apparteneva a un gruppo di quattro, evidentemente E non può avere in mano nessuna carta dello stesso valore, quindi P(B|A4) = 0;

  • se S ha in mano tre carte di un certo valore, nel mazzo ne rimane soltanto un'altra. Tra tutti i modi in cui a E possono arrivare dieci delle trenta carte che rimangono nel mazzo, allora, sono "favorevoli" soltanto quelli in cui gli capita quella carta e nove qualsiasi delle rimanenti ventinove:

  • se S ha in mano due carte di un certo valore, nel mazzo ne rimangono altre due. Gli unici casi in cui nessuna di queste due capita a E sono quelli in cui E ha ricevuto dieci delle altre ventotto carte: indicando allora con Bc l'evento "B complementare", cioè l'evento in cui E non ha in mano la carta del valore giusto, si ha

    quindi P(B|A2) = 1 - P(Bc|A2) = 49 / 87;

  • infine, se S gioca una carta "singola", e quindi in "in giro" ci sono tre carte dello stesso valore, ragionando come sopra si può concludere che

    quindi P(B|A1) = 1 - P(Bc|A1) = 146 / 203.

Conosciamo allora tutte le probabilità condizionate alla dimensione del "gruppo" a cui apparteneva la carta giocata da S. Notiamo che, come era ragionevole supporre anche a priori, la probabilità di fare scopa è tanto minore quanto maggiore è la dimensione del gruppo di partenza (infatti 1 / 3 ~ 33%, 49 / 87 ~ 56% e 146 / 203 ~ 72%).

      Purtroppo, però, i nostri problemi sono ancora ben lontani dall'essere risolti. Per conoscere la probabilità totale, infatti, è necessario conoscere la probabilità degli eventi condizionanti; inoltre, per conoscere queste probabilità, è necessario conoscere la linea di condotta di S. Mi spiego con un esempio: supponiamo che all'apertura S abbia in mano, tra l'altro, tre assi e due fanti. Che carta decide di giocare? Potrebbe farsi forte del fatto che giocando l'asso darebbe la scopa soltanto in un caso su tre e che oltretutto creerebbe una situazione probabilmente interessante per il suo compagno; potrebbe però anche scegliere la strategia (raccomandata dai giocatori di scopone e, in questo caso, fortificata dal detto veneto per cui "fanti e cavài no sbaglia mai") di giocare il fante.

      Abbiamo insomma scoperto il punto sul quale mi sono concesso di sorvolare (come sempre, barando un po') in precedenza: avere in mano una carta non significa volerla giocare. Prima il problema era di facile soluzione: se E è un giocatore di scopone e ha la possibilità di fare scopa, si suppone che la faccia. Questo ci fa permesso di identificare l'evento "fare scopa" con l'evento "avere le carte buone per fare scopa". Ora, invece, non possiamo procedere fino a che non decidiamo quale debba essere la giusta condotta di S sulla base delle carte che ha in mano. A questo scopo, seguirò nel seguito la seguente linea di condotta per il primo giocatore di mano (che è quella seguita, a quanto so, dai giocatori "incalliti", in base a considerazioni che farò in chiusura; trascuro i semi delle carte, che pure hanno la loro importanza nel gioco):

  • se si hanno in mano quattro carte di uno stesso valore, si gioca una di quelle quattro;

  • se non si hanno in mano quattro carte di uno stesso valore, ma si ha almeno una coppia, si gioca una delle due carte della coppia;

  • se non si hanno in mano nè coppie nè "poker", ma si ha almeno un "tris", si gioca una delle carte del tris;

  • se tutte le carte che si hanno in mano hanno lo stesso valore, si butta un asso e si spera nella propria buona stella.

In questo modo possiamo capire a quali "mani" di S corrispondono gli eventi Ai: A1 è formato dalle mani che hanno tutte carte di valori diversi tra loro, A2 dalle mani che hanno una coppia (e eventualmente qualche tris) ma nessun poker, A3 dalle mani che non hanno nè poker nè coppie ma hanno almeno un tris e A4 dalle mani che hanno almeno un poker (e, eventualmente, qualche tris e/o qualche coppia). Ci resta soltanto il compito di contarle (e scusate se è poco).

  • È abbastanza facile capire quali sono le mani di A1: sono i sottoinsiemi dell'insieme delle 40 carte che si ottengono scegliendo una delle quattro possibili carte per ogni valore. Allora

  • Contare le mani di A4 è meno facile ma ancora fattibile. A una prima riflessione, si potrebbe pensare di contarle scegliendo uno dei 10 possibili valori per il poker e prendere tutte e quattro le carte di quel valore, aggiungendo poi sei qualsiasi delle altre trentasei, cioè di scrivere

    In questo modo, però si starebbero contando due volte le (poche!) combinazioni che contengono due poker. Per ottenere il numero giusto bisogna allora sottrarre dal totale ottenuto in precedenza il numero di queste ultime combinazioni, e si ottiene

Cercando di contare in questo modo anche le mani di A2, però, iniziano invece i veri problemi. Non basta, infatti, scegliere uno dei 10 possibili valori per la coppia, prendere due carte di quel valore e aggiungere otto qualsiasi delle altre 36: dobbiamo infatti eliminare dal totale i casi in cui tra queste otto vi siano quattro carte dello stesso valore (perché allora avremmo una mano con un poker, già contata in precedenza). Inoltre, tra tutte le possibili combinazioni che otteniamo in questo modo ce ne sarebbero alcune che comprendono più di una coppia e che staremmo contando con una molteplicità piuttosto laboriosa da calcolare. Va da sé che questi problemi si ingigantirebbero in modo atroce quando dovessimo contare gli elementi di A3.

      Conviene allora passare a un metodo un po' meno "teorico" e "elegante" ma certamente più efficace, anche in considerazione del fatto che fornisce risultati facilmente applicabili a altre "strategie" di gioco della prima carta:

  1. determiniamo tutte le possibili distribuzioni che possono venire assunte da una mano di carte;

  2. contiamo tutti i possibili modi in cui ognuna di queste distribuzioni può essere realizzata.

Se anche questo metodo può sembrare più laborioso del precedente, vedremo che con l'aiuto di un po' di malizia (e magari di un buon foglio di calcolo!) riusciremo a raggiungere i risultati che ci interessano in modo abbastanza spedito.

      Per determinare quante configurazioni possono assumere dieci carte scelte da un mazzo di quaranta (uguali per valore a quattro a quattro), conviene iniziare dal caso più eclatante, cioè quello in cui si abbia il maggior numero possibile delle combinazioni più lunghe possibile. Si tratta, evidentemente, del caso in cui abbiamo due poker e una coppia, cioè le carte si raggruppano per valore secondo lo schema AAAA BBBB CC. C'è anche un altro modo in cui possiamo avere due poker, ovvero il caso in cui le altre due carte sono di due valori diversi (AAAA BBBB C D). Esclusi questi, non potremo avere in mano più di un poker, e quindi iniziamo a considerare le mani che ne hanno esattamente uno. Iniziamo ancora da quella con le carte combinate nel modo più "lungo" possibile, cioè da una mano con un poker e due tris (AAAA BBB CCC), per poi proseguire in questo modo fino a arrivare alla mano con le combinazioni più "corte" possibili, ovvero quella che ha tutte e dieci le carte di dieci valori diversi (A B C D E F G H I J). In questo modo si determinano abbastanza facilmente tutte e 23 le possibili configurazioni (invito il lettore a provarci prima di proseguire).

      Fissata una combinazione, il numero di modi in cui può essere realizzata si può determinare come segue. Supponiamo di avere fissato una combinazione con a poker, b tris, c coppie e d carte "singole" (dove, evidentemente, deve essere 4a + 3b + 2c + d = 10). Scegliamo i valori delle carte da associare a questa combinazione, iniziando dagli a valori tra i dieci possibili con cui realizzare i poker. Dovremo poi scegliere i b valori (tra i 10 - a rimasti) con cui realizzare i tris e, quindi, i c valori (tra 10 - a - b) con cui realizzare le coppie e i d valori (tra 10 - a - b - c) da dare alle carte singole. Consideriamo poi che:

  • un poker di carte di un dato valore si può realizzare soltanto in un modo: prendendo tutte e quattro le carte di quel valore;

  • un tris di carte di un dato valore può essere effettuato scegliendo un seme da "lasciare fuori" dal tris, cioè in quattro modi possibili;

  • una coppia di carte di un dato valore può essere realizzata scegliendo due qualsiasi delle quattro carte di quel valore;

  • una carta singola di un certo valore può essere scelta in quattro modi possibili.

Dovrebbe a questo punto essere facile convincersi che la combinazione fissata può essere realizzata in

modi. Sulla base di questa formula, che può essere semplificata nell'equivalente

e/o automatizzata in un foglio di calcolo, è stata realizzata la tabella che segue.

La tabella ci permette di calcolare quasi senza fatica il numero di casi favorevoli a ognuno dei quattro eventi. È infatti immediato vedere che:

  • A1 è formato dalle mani che hanno combinazione come nell'ultima riga: allora |A1| = 1 048 576 (come del resto già trovato in precedenza);

  • A2 è formato dalle mani con combinazione come quelle delle righe 11., 12., 14., 15., 16., 18., 19., 20., 21. e 22: sommando i valori presenti in tali righe si ottiene allora |A2| = 790 445 952;

  • A3 è formato dalle mani con combinazione come quelle delle righe 10., 13. e 17, quindi |A3| = 36 710 400;

  • A4 è formato dalle mani le cui combinazioni compaiono nelle prime 9 righe, quindi |A4| = 19 455 600 (anche questo già trovato in precedenza).

Per ricavare la "probabilità di fare scopa all'apertura" (dove le virgolette sono motivate dalle ipotesi che abbiamo fatto sulla condotta dei giocatori), allora, basta dividere i quattro valori appena ottenuti per il numero totale delle possibili mani (che, per la cronaca, è 847 660 528) e sostituire le probabilità così ottenute nella formula delle probabilità totali vista sopra. Il risultato finale è che la probabilità cercata è pari a

cioè la probabilità cercata è circa il 54.05%.

      Il lettore un po' smaliziato potrebbe chiedersi perché la condotta di gioco del primo giocatore debba per forza essere quella proposta. Sembrerebbe infatti che, nel caso in cui si abbiano in mano una coppia e un tris, sia meglio giocare una delle carte del tris, perché in questo modo la probabilità di concedere la scopa all'apertura dovrebbe diminuire sensibilmente. In effetti, dare la precedenza ai tris sulle coppie "sposterebbe" dall'evento A2 all'evento A3 le 269 740 800 mani corrispondenti alle combinazioni che si trovano nelle righe 11., 12., 14., 15. e 16 e in questo modo si otterrebbe

cioè circa il 46.74%, decisamente minore del precedente. Dove sta l'inghippo? L'inghippo sta nel fatto che quando E fa scopa su una carta di una coppia di S, esiste comunque una probabilità significativa che la quarta carta di quel valore sia posseduta dal compagno di S e, quindi, che non si concedano altre scope oltre la prima. Questo invece non è più vero se S gioca una carta di un tris: nel malaugurato caso in cui E riesca a fare scopa, N (il compagno di S) si trova di nuovo nella situazione di avere una probabilità attorno al 50% di lasciare una scopa a O (il compagno di E). Ho insomma il sospetto (che probabilmente potrebbe anche essere verificato da un lettore armato di buzzo particolarmente buono, con un bel po' di conti analoghi a quelli visti sopra) che la strategia che ho esposto sopra, pur non minimizzando la probabilità di lasciare la scopa all'apertura, renda tuttavia minimo il valore atteso del numero di scope concesse consecutivamente all'apertura. Se questo mio sospetto fosse vero, dato che tutti i punti (non solo quelli fatti al primo scarto) sono ugualmente importanti, la scelta della strategia di sopra sarebbe pienamente giustificata.

 

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