Vorrei chiedervi una delucidazione sulla “dinamica non lineare” ovvero una sua sintesi illustrativa e in quali campi della fisica viene applicata. Siccome in poche righe non si puo’ descrivere esaustivamente un argomento di tale ampiezza vorrei chiedervi l’indicazione di alcuni testi inerenti a tale argomento: siano essi di fisica, matematica o altro. Infine, vorrei chiedervi un elenco base di conoscenze propedeutiche all’apprendimento della dinamica non lineare. Saluti e grazie. Cristiano.

Da punto di vista matematico si parla di Dinamica Nonlineare ogni volta che si studia un sistema di equazioni differenziali, descriventi l’evoluzione di un qualche insieme di funzioni, in cui le funzioni incognite sono accoppiate tra loro in modo non lineare (cioè compaiono come argomenti di funzioni non lineari oppure sono moltiplicate tra loro).

Nella quasi totalità dei casi, il comportamento di sistemi dinamici di questo genere è completamente diverso da quello dei sistemi lineari. In particolare tali dinamiche sono caratterizzate generalmente dal fenomeno noto come forte dipendenza dalle condizioni iniziali: condizioni iniziali molto simili tra loro possono dare luogo a traiettorie molto diverse tra loro (effetto farfalla). In taluni casi questi sistemi dinamici hanno comportamento caotico oppure presentano degli attrattori (cioè regioni dello spazio delle fasi sui cui le traiettorie si adagiano asintoticamente) frattali, altre volte invece gli attrattori non sono frattali, ma sono delle curve regolari, in tal caso si parla di cicli limite, ma non per questo il comportamento del sistema diventa semplice.

Fisicamente questi sistemi sono quasi sempre associati a sistemi descrivibili complessivamente con pochi parametri ma che presentano sottostrutture molto complesse, caratterizzate da moltissimi gradi di libertà (ad esempio il funzionamento di alcuni strumenti musicali, in particolare quelli ad aria, o la generazione delle onde sismiche vulcaniche, o, per citare il sistema in cui è stato scoperto l’effetto farfalla, la dinamica atmosferica).

La caratteristica principale dei sistemi con forte dipendenza dalle condizioni iniziali è che, benché regolati da leggi di evoluzione completamente deterministiche, le previsioni su larghe scale temporali sono impossibili. Questo tipo di dinamica amplifica in maniera esponenziale le indeterminazioni sperimentali (che non possono mai essere eliminate, ma solo ridotte) sulle condizioni iniziali.

Per capire cosa si intende con imprevedibilità basti pensare che se per un sistema lineare si aumenta di un ordine di grandezza la precisione delle misure delle condizioni iniziali (cioè si passa, ad esempio, da un incertezza relativa dell’ordine di 0.1 ad una di ordine 0.01) il tempo sui cui si possono fare previsioni ragionevolmente accurate aumenta dello stesso fattore (ad esempio si passa da un periodo di un giorno a un periodo di 10 giorni). Invece per i sistemi con forte dipendenza dalle condizioni iniziali aumentare di un ordine di grandezza la precisione allunga solo di un fattore costante il tempo di precisione (ad esempio passando da un’incertezza di 0.1 ad una di 0.01 si passa da un tempo di previsione di un giorno a uno di 1.5 giorni, passando da 0.01 a 0.001 si passa da 1.5 a 2 giorni, e così via).

L’argomento è molto affascinante, ma anche molto esteso, tanto da non poter dare neanche una trattazione elementare di tale campo di indagine in una sede come questa. Per approfondire questi argomenti puoi rivolgerti ai testi citati in bibliografia.

Prerequisiti per capire il contenuto della maggior parte dei testi su questo argomento è una ragionevole padronanza del linguaggio della meccanica analitica, e in fondamenti di analisi dei sistemi dinamici (in particolare i lavori di Poincaré) che puoi studiare su qualsiasi testo di Meccanica Razionale (in particolare consiglio Turchetti, "Dinamica Classica dei Sistemi Fisici").

Bibliografia

Una buona introduzione divulgativa all’argomento, che non richiede conoscenze pregresse troppo avanzate è: A. Vulpiani "Determinismo e Caos".

Due testi che trattano l’argomento in maniera molto approfondita ma che richiedono una conoscenza pregressa di meccanica analitica sono: Gutzwiller "Chaos and Non-linearity" e Turcotte "Fractals and Chaos in Geology and Geophysics".