Vorrei capire le assunzioni che portarono all’equazione di Schroedinger. In particolare quella di Born sulla normalizzazione. Inoltre vorrei sapere come si ricavano le Leggi di Newton dall’ equazione di Schroedinger.

In realtà la teoria non è molto semplice
e richiede un po’ di base matematica. Cercherò di spiegare in maniera
il più semplice possibile.

In fisica classica si ha a che fare con grandezze come
posizione, quantità di moto e altri osservabili intendendoli come
funzione del tempo.

Nel caso di una particella di massa m sottoposta ad un
moto armonico semplice, la legge di Newton ha la forma:

md2x/dt2 = F

Con una forza proporzionale allo spostamento, F = –kx(t).
Una soluzione è:

x(t) = A cos wt w
= (k/m)1/2

La quantità di moto p = m dx/dt diviene allora:

p(t) = -mAw sin wt

se ora noi scriviamo le due quantità xp e px,
esse risulteranno in maniera banale identiche:

xp = px = -mA2 w
sinwt cos wt

ed è ovvio che

xp – px = 0

Bene, sembra banale ma non lo è. Il maggiore contributo
di Heisenberg alla meccanica quantistica è il fatto che questa
quantità, per quanto piccola, non è zero. In meccanica classica
questa quantità è considerata zero, e tale approssimazione
non inficia il valore dei risultati, ad esempio, nei crash-test dei veicoli
o nella progettazione degli edifici. In meccanica quantistica, tuttavia,
dobbiamo considerarla. Heisenberg ipotizzò che ci fosse una connessione
tra il non-zero e la costante di Planck h. Così è.
Si ha infatti che, per ottenere accordo fra teoria e dati sperimentali
deve essere:

(1) xp – px = iħ dove ħ = h/2p

Che cosa sono allora x e p? Per rispondere a questa domanda
i quanto meccanici si chiesero cosa, in matematica, non rispettasse la
regola AB-BA = 0.

A e B possono essere matrici. Nel calcolo matriciale,
infatti, l’ordine delle operazioni di moltiplicazione, divisione così
come l’ordine degli operandi è non commutabile. Scambiando l’ordine
il risultato cambia.

Un’altra interpretazione fu: x e p sono OPERATORI. Ad
esempio, sono operatori l’operatore logaritmo (Log), radice quadrata (√),
seno e coseno ecc. Per esempio, infatti:

log(√(3)) = 0.2385

√(log(3)) = 0.6907

Ora, log, sen e cos ecc. operano su numeri, funzioni,
e così via. x e p operano anch’essi su funzioni. Infatti scrivere
xp – px = iħ significa implicitamente includere l’operando ossia
specificare l’operando y dopo ogni termine,
come segue:

(2) xpy – pxy
= iħy (i = √(-1) ossia i*i = -1)

A sinistra ci sono due termini: nel primo, a y
prima opero con p poi su py opero con x. Nel
secondo viceversa. (xp – px) funziona esso stesso come un operatore.

Affinché sia valida la (2) si ha che

(3) p = (ħ/i)(d/dx)

Infatti:

xpy = x(ħ/i)(d/dx)y

pxy = (ħ/i)(d/dx)xy
= (ħ/i)y + x(ħ/i)(d/dx)y

e quindi :

xpy – pxy
= -(ħ/i)y = iħy

Ora siamo giunti a sapere cosa sono x e p e come funzionano.

Come è l’espressione dell’energia totale per un
oscillatore armonico? Classicamente:

E = E(cinetica) + E(potenziale)
= (p2)/2m + ½ kx2

E in termini quantistici, inserendo la (3) si ottiene:

 

Ora, analogamente a p e a x, anche E funziona come un
operatore, ossia:

(4)

La (4) è la forma della Equazione di Schrödinger
indipendente dal tempo per un oscillatore armonico. La funzione y
prende il nome di funzione d’onda e rappresenta analiticamente il sistema,
contiene informazioni sul suo comportamento nello spazio e sulla sua energia.
[1]

Per un sistema generico, ciò che varia è
l’espressione della energia potenziale. Questa è ½ kx2
per l’oscillatore armonico, in generale sarà una funzione (o meglio
un operatore) V(x). Pertanto, l’equazione di Schrödinger sarà:

(5)

Se ora definisco l’operatore hamiltoniano:

la (5) diverrà: Hy
= Ey

Che cosa significa, in maniera molto semplificata? Dato
un sistema, ad esso sarà associato, più o meno complicato,
un suo operatore hamiltoniano. Risolvere l’equazione di Schrödinger
significa trovare quelle (in genere più di una) funzioni y
tali che, operando su queste tutte le operazioni dell’operatore H,
la lasciano sostanzialmente inalterata, solamente moltiplicata per un
numero E.

Ad esempio, se fosse H = d/dx, allora si avrebbe
y = enx.

Infatti

In pratica in questo modo la costante n è il valore
dell’energia per la funzione y = enx.
Esisteranno in questo caso infinite funzioni, una per ogni n, ognuna con
energia n.

Che interpretazione diedero i quantomeccanici della funzione
d’onda y?

y dipende dal punto nello
spazio e dall’istante che si considera, ossia y
= y(x,t) ed è in generale una funzione
complessa (ovvero, definita nel campo dei numeri complessi). Una probabilità,
invece, è un numero reale compreso fra 0 e 1. Sulla base di numerose
considerazioni, e osservando che il quadrato di un numero complesso è
un numero reale, Born fece una ipotesi.

Ipotizzò che il quadrato di y,
|y(x,t)|2, dovesse essere il valore
della probabilità di incontrare la particella il cui moto è
descritto da y, nella posizione x all’istante
t.

Siccome per ipotesi la particella esiste, allora deve
trovarsi, indipendentemente dall’istante considerato, da qualche parte
nello spazio. La somma di tutte le probabilità per ogni punto x
deve essere 1 (da qualche parte la particella deve esistere) ovvero:

(6)

La (6) è chiamata CONDIZIONE DI NORMALIZZAZIONE.
Ogni funzione d’onda deve verificare questa condizione.

Abbiamo visto come, per valutare l’energia di y,
bisogna operare con l’operatore Hamiltoniano. Analogamente, se voglio
ad esempio valutare il valore della quantità di moto p, dovrò
operare su y con l’operatore p = (ħ/i)(d/dx).
Ad ogni grandezza fisica è associato uno specifico operatore.
Il valore numerico relativo alla energia di y,
ossia E, viene anche indicato con la notazione <H>. Analogamente,
il valore numerico relativo alla quantità di moto di y
viene indicato con <p> e così via. In generale, il valore
numerico relativo ad una grandezza fisica è il valore numerico
<W> del suo operatore W.
<W> viene detto valore di aspettazione,
ed è il valore più probabile per la grandezza associata
a quell’operatore. Il valore di aspettazione di H, indicato<H>,
è appunto E.

E’ dimostrabile che il valore di <W>
varia nel tempo secondo la relazione:

(7)

Dalla (7) si ricava che una grandezza fisica è
una costante del moto (ovvero il suo valore non varia col trascorrere
del tempo), quando vale la relazione sotto riportata:

Che cosa succede se considero W
= p ?

e con alcuni semplici passaggi matematici si ottiene:

(Hp – pH) è nullo se dV/dx è nullo. In
pratica, l’operatore p dà un valore <p> costante se il valore
di dV/dx è nullo, ossia se l’operatore energia potenziale è
tale che <V> è costante su tutto lo spazio.

In termini classici, la derivata su x del potenziale
è una forza (-dV/dx = F), mentre p = mv.

Se il valore della forza agente su un corpo è
nullo, allora la quantità di moto, e quindi la velocità,
è costante.

E questa è la prima legge di Newton.

Andiamo oltre:

Abbiamo visto che
e pertanto se W = p si ottiene:

 

ma se in termini classici p = mv, allora dp/dt = mdv/dt
= ma, ossia il valore della massa moltiplicato per la accelerazione.

Il valore di una forza che agisce su un corpo è
uguale alla massa del corpo stesso per la sua accelerazione.

E questa è la seconda legge di Newton.

 

[1] In verità la funzione d’onda non è
soluzione della equazione di Schrödinger indipendente dal tempo,
ma di una equaz. differente, dipendente dal tempo. In generale, tuttavia,
il potenziale V in generale può essere espresso come V(x), ossia
indipendente dal tempo. In tal caso, la risoluzione della eq. di Schrödinger
dipendente dal tempo si riconduce a risolvere quella indipendente, e moltiplicare
la soluzione così ottenuta per una funzione che ha forma analoga
a quella di un’onda stazionaria.

 

TESTI CONSIGLIATI:

I libri riguardanti la meccanica quantistica sono numerosissimi.
Mi limiterò a riportarne due:

P.A.M. Dirac, The principles of quantum mechanics,
Oxford Univ. Press, 4th ed. 1954

P.W. Atkins, Molecular Quantum Mechanics, Oxford
Univ. Press, 2nd ed. 1983