Per rispondere
in modo comprensibile devo fare alcune precisazioni che partono dalla
meccanica classica.
Un sistema
fisico classico e’ descritto, nello spazio e ad un istante, da un insieme
di punti che ne specificano la posizione, piu’ alcuni numeri che specificano
la massa di tali punti (si puo’ dare la massa in modo “continuo” quando
il sistema e’ di tipo continuo, per esempio un gas oppure un liquido ed
in tal caso la massa viene assegnata taramite una densita’ di massa).
Lo *stato
meccanico* di un sistema fisico e’ descritto, rispetto ad un sistema di
riferimento, assegnando anche le velocita’ dei punti detti sopra rispetto
al sistema di riferimento considerato.
La meccanica
classica dice che quando conosciamo le forze che agiscono sul nostro sistema,
assegnato lo stato meccanico del sistema ad un determinato istante, sono
determinati gli stati meccanici del sistema in tutti gli altri istanti,
nel passato e nel futuro. Tale determinazione si ottiene risolvendo le
equazioni della dinamica classica (dovute essenzialmente a Newton) che
tengono conto delle forze che agiscono sul sistema che si suppongono note.
Esempio.
Prendiamo due punti materiali (due palline) di massa assegnata connesse
da una molla di cui si conosce la costante elastica e che si suppone di
massa trascurabile. Se siamo nello spazio lontani da tutti gli altri corpi,
le uniche forze che si esercitano sul sistema sono le forze dovute alla
molla, una su ciascuna pallina, che dipendono dall’allungamento della
molla stessa rispetto alla lunghezza di equilibrio, cioe’ dipendono dalla
distanza reciproca tra le due palline. Se fossimo vicini ad altri corpi,
dovremmo tenere conto anche di altre eventuali forze sul sistema dovute
a tali altri corpi. Mettiamoci comunque nel caso piu’ semplice detto sopra.
Se conosciamo al tempo t=0 le posizioni e le velocita’ delle due palline
(velocita’ rispetto ad un riferimento), possiamo determinare le posizioni
e le velocita’ in tutti gli altri tempi, risolvendo le equazioni della
dinamica.
Ora ci poniamo
il seguente problema. Supponiamo di avere fissato lo stato al tempo t=0
e di avere ottenuto il moto, cioe’ gli stati del sistema a tutti gli altri
tempi. Prendiamo il nostro stato iniziale (assegnazione di posizioni e
velocita’) e consideriamo un altro stato iniziale ottenuto TRASLANDO il
precedente secondo una determinata traslazione T: tutte le posizioni al
tempo t=0 e le velocita’ allo stesso tempo sono le stesse di prima pero’
tutte traslate secondo la stessa traslazione T. Come sara’ il moto del
sistema che risultera’ da questo stato iniziale?
Nel caso in esame la risposta e’ abbastanza intuitiva (purche’ il riferimento
nel quale si lavori sia inerziale): le palline evolveranno in modo tale
che, ad ogni tempo t, lo stato sara’ quello dell’altra evoluzione (quella
con stato iniziale non traslato), traslato con la solita Traslazione T.
Se ci fosse stata un’altra forza agente sul sistema dovuta a corpi esterni
al sistema, il risultato detto sopra non sarebbe stato vero in generale:
per esempio se c’e’ un terzo corpo M tenuto fisso, con una seconda molla
attaccata ad una delle palline. Se consideriamo due stati iniziali delle
due palline (tenendo fisso M) identici se non per una diversa distanza
da M, a causa della differente forza tra M e le due palline, le evoluzioni
saranno tali che non differiranno per la sola traslazione iniziale.
In ogni caso,
quando, agendo con una trasformazione sullo stato iniziale del sistema,
l’evoluzione che ne consegue e’ quella che si ha facendo agire la trasformazione
su ogni singolo stato ad ogni istante, si dice che il sistema e’ *simmetrico*
o *invariante* sotto la trasformazione detta.
Detto cio’,
risultano i seguenti risultati notevoli.
1) Considerando
la meccanica classica, si vede che tutti i sistemi fisici isolati (cioe’
non sottoposti a forze se non quelle generate all’interno del sistema
stesso) e descritti in sistemi di riferimento inerziali, sono simmetrici
sotto un insieme di trasformazioni che formano un gruppo detto gruppo
di Galileo. Tale gruppo di trasformazioni e’ decomponibile in 10 tipi
di trasformazioni *continue*. Un esempio sono le traslazioni che possono
essere lungo 3 direzioni differenti e di una distanza arbitraria e fissabile
in un insieme continuo di valori che include il valore nullo, corrispondente
alla traslazione nulla: lo stato del sistema rimane quello che era. Poi
ci sono le rotazioni attorno a 3 differenti assi e con angoli arbitrari
fissabili con continuita’ partendo dall’angolo nullo. C’e’ la traslazione
temporale (significa che traslo nel tempo ogni stato secondo un ritardo
T arbitrario) e le 3 trasformazioni di Galileo pure (che corrispondono
a cambiare riferimento inerziale quando interpretate passivamente, ma
non mi addentro in cio’).
NB. Le trasformazioni di sopra sono “continue” nel senso illustrato, ma
ne esistono anche di non continue: per esempio, dato uno stato del sistema,
posso costruire lo stato trasformato che corrisponde all’immagine che
ho del sistema riflettendolo in uno specchio: non c’e’ modo di passare
con continuita’ dallo stato non trasformato a quello trasformato in questo
caso.
2) Considerando
un sistema fisico classico, si scopre in molti casi, che SE il sistema
e’ simmetrico sotto una certa traformazione *continua*, ALLORA c’e’ una
grandezza fisica in qualche modo legata alla traformazione detta, che
si conserva numericamente sul moto del sistema.
Esempio,
se un sistema fisico e’ simmetrico sotto l’azione delle traslazioni lungo
una direzione, allora si conserva l’impulso (o quantita’ di moto) totale
del sistema nella direzione considerata. Questo
significa che qualunque moto del sistema considero, il valore numerico
della quentita’ di moto lungo la direzione considerata non varia nel tempo
(ma puo’ dipendere dal moto scelto).
Alla simmetria
(o invarianza) sotto rotazioni corrisponde la conservazione del momento
angolare lungo l’asse di rotazione, all’invarianza sotto traslazioni temporali
corrisponde la conservazione dell’energia. (Le trasformazioni pure di
Galileo forniscono una legge di conservazione equivalente al “teorema
del centro di massa”). Le relazioni dette tra simmetrie e leggi di conservazione
vengono dimostrate separatamente ed analizzando i vari casi.
La domanda
che ci si pone spontaneamente e’ se ci sia un modo generale di studiare
il legame tra simmetrie del sistema e leggi di conservazione, cioe’ se
ci sia un teorema generale che sottenda tale profonda relazione. La risposta
e’ positiva se si usa la Formulazione Lagrangiana della dinamica.
Tale formulazione ha l’enorme vantaggio che puo’ essere generalizzato
anche a sistemi non classici, ossia sistemi fisici relativistici (almeno
in relativita’ spaciale). Esiste anche una generalizzazione quantistica,
che include anche le trasformazioni non continue, ma non mi addentrero’
in cio’. Detto in modo succinto, nella formulazione lagrangiana della
dinamica, si assume che i sistemi fisici abbiano associata una funzione,
del tempo, e dello stato detta (funzione) lagrangiana del sistema. Formalmente,
se Q indica l’insieme delle posizioni che determinano il sistema e Q’
quello delle velocita’:
L = L(t,Q,Q’)
Se il sistema
e’ continuo la funzione viene rimpiazzata da una “densita’ di lagrangiana”,
ma cio’ non e’ essenziale per quello che seguira’. Una volta nota la lagrangiana
del sistema, esistono equazioni dette di Eulero-Lagrange che, costruite
con tale funzione, forniscono lo stato del sistema ad ogni istante t quando
risolte e quando e’ stato assegnato uno stato iniziale t=0. Per i sistemi
meccanici classici, tali equazioni coincidono con quelle di Newton alle
quali ci siamo riferiti sopra. La cosa importante e’ che ora, una determinata
traformazione continua T, puo’ essere fatta agire su L stessa, ottenendo
L(Tt,TQ,TQ’)
si dimostra
che se per ogni scelta di t, Q, Q’ vale
L(Tt,TQ,TQ’)=
L(t,Q,Q’) (1)
per ogni
T dell’insieme continuo di trasformazioni considerato, allora il sistema
fisico e’ simmetrico sotto T, nel senso detto sopra riguardo ai moti del
sistema stesso. Tuttavia la (1) implica anche un altro ben piu’ importante
risultato detto “Teorema di Noether”. Se vale la (1) con le precisazioni
dette sopra, allora c’e’ una grandezza fisica che si conserva lungo i
moti del sistema, che puo’ essere scritta esplicitamente in funzione di
T e L (non riporto la formula per evitare inutili tecnicismi). Ci sono
osservazioni importanti.
1) Il teorema
detto puo’ essere esteso a trasformazioni anche molto diverse da quelle
del gruppo di Galileo dette sopra ed in contesti molto piu’ vasti (teorie
dei campi relativistiche). La stessa conservazione della carica elettrica
puo’ essere provata derivare dal teorema di Noether quando si ha simmetria
sotto le cosiddette “trasformazioni di gauge”.
2) Nel caso
relativistico (relativita’ speciale), il teorema di Noether nella sua
forma piu’ generale si enuncia considerando quella che viene detta “azione”
del campo piuttosto che riferendosi alla densita’ di Lagrangiana. Nel
caso relativistico, la grandezza che si conserva risulta sempre essere
una componente di un quadrivettore (vettore in 4 dimensioni nello spaziotempo)
spesso detto “corrente” o “quadricorrente” associata alla simmetria del
sistema.
3) E’ possibile
estendere ancora di piu’ il risultato usando una formulazione matematica
della dinamica dei sistemi detta Formulazione di Hamilton. Con tale formulazione,
tra le altre cose, si crea un ponte con la meccanica quantistica in cui
il teorema di Noether si emancipa dalla richiesta di invarianza sotto
trasformazioni *continue*.