Che significato ha il valore z che viene utilizzato per dare una misura di redshift?

Gli
spettri
Ogni
elemento chimico, adeguatamente stimolato mediante calore o altre forme
di energia, emette una luce costituita da un insieme caratteristico di
frequenze, cui si dà il nome di spettro. Ad esempio, se analizziamo
con lo spettroscopio la luce che emettono le lampade al sodio (quelle
giallo-arancio usate per l’illuminazione stradale), osserviamo uno spettro
caratteristico costituito da specifiche righe (vedi figura in basso).
Dunque è importante studiare la luce proveniente dai vari corpi celesti:
stelle, nebulose, e galassie perché possiamo riconoscere i vari elementi
chimici che le compongono, senza andare a prelevarne dei campioni !
Si sente spesso dire che lo spettro è un codice a barre cosmico
perché, esattamente come un codice a barre, a cui assomiglia moltissimo,
ci fornisce una serie di informazioni sull’oggetto che lo emette.

spettro del sodio

L’effetto
Doppler
Se
però la sorgente di luce è in movimento rispetto all’osservatore, allora
le righe dello spettro si spostano in funzione della velocità relativa
(effetto Doppler). Questo avviene perché cambia il numero di onde intercettate
nell’unità di tempo, come si vede dalla figura in basso. Se la sorgente
si avvicina all’osservatore, la frequenza osservata aumenta (osservatore
a sinistra). Se invece si allontana, allora la frequenza osservata diminuisce
(osservatore a destra).

Dunque la
misura dello spostamento delle righe spettrali rispetto alla loro posizione
di riposo, ci permette di determinare ad esempio la velocità di una stella
rispetto a noi, la velocità di rotazione di una galassia, la velocità
di una galassia rispetto a noi, ecc. ecc. In parole povere riusciamo ad
avere una visione dinamica dell’Universo.

Il
Redshift
In
particolare, lo spettro della luce emessa dalle galassie contiene righe
caratteristiche, ad esempio quelle del Calcio: se lo confrontiamo con
lo spettro del Calcio ottenuto in laboratorio (dove non c’è movimento
relativo tra l’emittente e l’osservatore) rileviamo che in tutti gli spettri
galattici le righe del Calcio sono spostate verso frequenze più basse.
Allora concludiamo che tutte le galassie si allontanano da noi.
Questo fatto può essere interpretato con un modello di Universo in espansione.

Proprio perché in Cosmologia il moto più comune è l’allontanamento, la
luce si sposta verso frequenze più basse, e siccome nella luce visibile
la frequenza più bassa corrisponde al rosso, allora si usa indicare il
fenomeno come spostamento verso il rosso, o Redshift.

Per essere
più rigorosi, nel caso di onde elettromagnetiche, il rapporto tra velocità
relativa e cambiamento di frequenza è il seguente:

(1)	questa formula tiene conto degli effetti relativistici, cioè quando la velocità di allontanamento o di avvicinamento è dell’ordine della velocità della luce
(2)	questa formula più semplice vale solo quando la velocità relativa è molto piccola rispetto alla velocità della luce (v²/c² vale praticamente 0)

Il simbolo
indica la frequenza emessa, f la frequenza
ricevuta, c è la velocità della luce, v è la velocità relativa
tra emettitore e osservatore. Per quanto riguarda i segni, v/c è negativo
se c’è avvicinamento, è positivo se c’è allontanamento.

Le formule
qui sopra sono espresse in funzione della frequenza, ma possiamo definire
le stesse per le lunghezze d’onda (in certi casi è più comodo)

(3)	questa formula tiene conto degli effetti relativistici, cioè quando la velocità relativa è dell’ordine della velocità della luce
(4)	questa formula più semplice vale quando la velocità relativa è molto piccola rispetto alla velocità della luce (v²/c² vale praticamente 0)

Nell’analisi
degli spettri, è facile misurare la quantità z, espressa come spostamento
relativo della lunghezza d’onda

e siccome
le galassie si allontanano, supponiamo .
Inseriamo la definizione di z nella formula (3) e, dopo qualche
passaggio matematico, otteniamo un’espressione utilissima nell’ambito
cosmologico:

Ad esempio,
alcune galassie nell’ammasso della Vergine hanno le righe del Calcio spostate
verso il rosso del 4% rispetto al valore di laboratorio. La velocità di
allontanamento si trova dalla formula precedente, e vale circa 12.000
km/s.

Per valori
di z molto piccoli abbiamo che z = v/c e dunque z assume
il significato di frazione della velocità della luce a cui si sta allontanando
una galassia. Attenzione: z=2 non significa che la galassia in questione
si stia allontanando al doppio della velocità della luce. Infatti osservando
il grafico riportato in basso, notiamo che per valori di z superiori a
0.5 la relazione tra redshift e velocità di allontanamento non è più lineare,
ma si avvicina asintoticamente alla retta v=c e dunque z=2 corrisponde
ad una velocità di allontanamento di 0.8 c.

La
legge di Hubble
Secondo
la legge di Hubble, enunciata nel 1929 dall’astronomo che ha dato il nome
al Telescopio Spaziale,
esiste una relazione tra il redshift di una galassia e la sua luminosità
apparente. Se la luminosità apparente di una galassia è indice della sua
distanza (galassie più deboli sono ragionevolmente più distanti di galassie
più luminose), allora possiamo enunciare che il redshift è proporzionale
alla distanza. In formule,

(5)

dove H0
è la celebre costante di Hubble, che secondo le misure del Telescopio
spaziale vale 64 km/s/Mpc. La distanza d è espressa in megaparsec
(1 megaparsec = 3,26 milioni di anni luce), c vale 300.000 km/s.

E dunque
la galassia dell’esempio precedente, a conti fatti, si trova a 57 milioni
di km !

Allora possiamo
aggiungere un altro significato a z: è un indice della distanza di
una galassia. Inoltre, dato che la luce ha una velocità finita, la
luce che ci arriva da oggetti lontani è partita molto più tempo addietro
rispetto ad oggetti vicini, quindi il redshift assume anche il significato
di indice dell’età di una galassia.

Redshift
elevato -> galassia distante -> galassia primordiale

Attenzione
però che la semplicissima formula (5) è valida solo per z <
0.1, vale a dire per galassie fino a 1,5 miliardi di anni luce di distanza.
Per determinare la corretta distanza di galassie con un redshift più alto
occorre fare delle ipotesi aggiuntive sulla forma dell’Universo e sul
suo contenuto di materia, che non sono ancora convalidate dalle osservazioni.

Qualche
controversia
Abbiamo detto
poc’anzi che il redshift esprime la distanza di una galassia, cioè galassie
vicine hanno lo stesso redshift. Tuttavia esistono casi documentati in
cui galassie evidentemente vicine, tanto da deformarsi reciprocamente,
hanno valori di redshift molto diversi, che comportano velocità di allontanamento
diverse, che secondo la legge di Hubble implicano distanze diverse.
Alcuni autori (Arp, Narlikar, e altri) sostengono che queste evidenti
violazioni della legge di Hubble impongono una revisione della cosmologia,
tanto da mettere in dubbio che il redshift delle galassie sia la manifestazione
dell’espansione dell’Universo.
La questione è ancora aperta.

Per completezza
è doveroso segnalare che le possibili cause del redshift sono tre:

• l’allontanamento
  relativo di emettitore ed osservatore (causa cinematica)
• l’espansione
  dell’Universo (causa cosmologica)
• la presenza
  di un campo gravitazionale

e quindi
il semplice valore di z non è in gradi di darci univocamente informazioni
sullo stato di moto di una galassia, e tantomeno sulla sua distanza. Ad
esempio, le due galassie della figura qui sopra potrebbero sì trovarsi
alla medesima distanza (interpretazione cosmologica di z), ma potrebbero
anche ruotare l’una intorno all’altra in modo che la galassia più piccola
si stia allontanando, mentre quella più grande si stia avvicinando (interpretazione
cinematica).

La
domanda
Proponiamo
di seguito un esercizietto sul redshift (o per meglio dire blueshift)
che metterà alla prova le capacità matematiche del lettore.

Un
fisico, a bordo della sua fiammante Ferrari, sfreccia senza accorgersi
ad un semaforo rosso. Immediatamente viene fermato da due vigili appostati,
e gli viene verbalizzata la contravvenzione. Il fisico, però, per evitare
la salatissima multa, racconta al giudice che, a causa dell’effetto
Doppler, la lunghezza d’onda della luce rossa del semaforo, gli è apparsa
verde!

Il
giudice, che conosce la fisica, accoglie la tesi, perché effettivamente
l’auto si stava avvicinando al semaforo, dunque la lunghezza d’onda
del rosso (680 nanometri) poteva accorciarsi fino a quella del verde
(530 nanonetri).

Qual’era
la velocità dell’automobile, volendo dar credito alla tesi del fisico
? Se il limite di velocità è di 50 km/h, il fisico meriterebbe una multa
?