Che cosa e’ il Principio di Mach? E che rapporti ha con i cosiddetti Sistemi di Riferimento Inerziali e la Teoria della Relativita’ di Einstein?

Il nome “principio di Mach” e’ stato inventato da Einstein prendendo
alcune considerazioni esposte dal celebre libro del fisico ed epistemologo
E. Mach “La meccanica nel suo sviluppo storico critico”. (Edito in Italia
dalla Bollati-Boringhieri).

Mach non credeva che i concetti di spazio e riferimento e moto fossero
assoluti come invece aveva supposto Newton. Servono quattro premesse per
spiegarmi meglio e proseguire.

1) Ricordo che i Sistemi di Riferimento Inerziali sono particolari sistemi
di riferimento assunti esistere sia nella fisica classica di Newton sia
dalla Relativita’ Speciale di Einstein. In tali sistemi di riferimento,
ogni corpo sufficientemente lontano da tutti gli altri si muove in moto
rettilineo uniforme (cioe’ velocita’ costante in una fissata direzione)
o e’ in quiete. Questo e’ essenzialmente il Principio di Inerzia o Primo
Principio della Dinamica.
N.B. L’esistenza di tali sistemi di riferimento non e’ affatto ovvia:
se ho diversi corpi molto lontano da tutti gli altri, posso sempre trovare
un riferimento in cui ciascuno di essi *separatamente* si muove di moto
rettilineo uniforme (o al limite e’ fermo), ma nulla assicura che ci sia
un sistema di riferimento in cui *tutti* questi corpi siano in moto rettilineo
uniforme. Per tale motivo l’esistenza di sistemi di riferimento inerziali
e’ un *principio fisico* che potrebbe essere falso. Si dimostra che dato
un riferimento inerziale, tutti gli altri si muovono rispetto ad esso
di moto rettilineo uniforme.

2) I sistemi di riferimento inerziali sono fondamentali nella formulazione
della meccanica classica e relativistica (speciale) perche’ e’ in tali
sistemi di riferimento che valgono le leggi della fisica nella forma usuale
(principi di Newton, elettromagnetismo, relativita’ speciale). Tutti i
sistemi di riferimento inerziali sono anche equivalenti ai fini della
formulazione delle leggi fisiche (Principio di Relativita’ di Galileo,
ovvero di Einstein quando si include anche l’elettromagnetismo). Le leggi
di forza tra i corpi, espresse in riferimenti inerziali, risultano essere
funzione dei soli corpi interessati (loro posizioni relative e velocita’).
Mentre se si descrive la dinamica in riferimenti non inerziali compaiono
delle forze apparenti che non sono funzione delle sole posizioni e velocita’
dei corpi interessati.

3) Si osservi che il concetto di *forza esercitata tra corpi* viene introdotto
proprio per spiegare, nei rifermenti inerziali, il moto NON rettilineo
uniforme dei corpi NON “sufficiemente lontani” tra di loro. Quando i corpi
sono tanto lontani tra di loro che si muovono di moto rettilineo uniforme
significa che le forze hanno cessato di agire.
N.B. La cessazione dell’azione delle forze con l’aumentare della distanza
e’ quindi un requisito essenziale in tutta la formulazione della dinamica.

4) E’ un dato di fatto sperimentale che i corpi astronomici lontanissimi
che vanno sotto il nome di “stelle fisse” (fisse reciprocamente, ma non
rispetto alla terra!) sono in quiete in un riferimento inerziale. Tale
fatto non ha spiegazione particolare nella formulazione classica della
fisica e riveste un semplice ruolo “accidentale”. Infatti nella definizione
di sistemi di riferimento inerziali, non c’e’ alcuna necessita’, nella
formulazione classica della dinamica (ma anche relativistica speciale),
che tali riferimenti contengano, in quiete con essi, corpi fisici.

Torniamo al principio di Mach. L’ultima premessa di sopra risultava
molto fastidiosa per Mach in quanto, al contrario di Newton, Mach pensava
che lo spazio e quindi i sistemi di riferimento avessero senso solo quando
rappresentassero posizione relative di corpi fisici realmente esistenti.
A conferma della sua ipotesi c’era il fatto “apparentemente accidentale”
della determinazione di un riferimento inerziale da parte delle stelle
fisse.

Cerco di spiegare meglio il punto di vista di Mach usando un esempio
dello stesso Einstein. Prendiamo due corpi fluidi connessi l’uno all’altro
con una fune, il tutto nello spazio. Assumiamo i corpi molto lontani da
tutti gli altri corpi e molto lontani tra di essi. Supponiamo di constatare
che i due corpi ruotano attorno all’asse rappresentato dalla fune, l’uno
rispetto all’altro. Puo’ allora accadere, in base alla meccanica classica,
che uno dei due corpi abbia una forma sferica e l’altro una forma schiacciata
alle intersezioni con la fune che diro’ “i poli”.

La meccanica newtoniana dice che cio’ accade perche’ in realta’ uno dei
due corpi e’ in quiete in un sistema di riferimento inerziale, mentre
l’altro e’ in rotazione in tale sistema e sente pertanto, mettendosi in
quiete con esso, forze apparenti che lo costringono a schiacciarsi ai
poli ed espandersi all’equatore (in realta’ non c’e’ alcuna forza vera
e guardando il fenomeno dal sistema inerziale si vede che la deformazione
del corpo ruotante e’ conseguenza del solo principio d’inerzia, ma non
entro nei dettagli perche’ non e’ essenziale qui).

Secondo Mach ed Einstein questa differenza tra le forme dei corpi e’
priva di senso *nel caso in cui non ci siano altri corpi (anche lontanissimi)
nell’universo*. Perche’ l’essere o il non essere in quiete in un sistema
di riferimento (se questo non corrisponde alla effettiva presenza di corpi
fisici) non ha senso fisico. Einstein stesso cerca anche di spiegare perche’
ma non entro in dettagli, se non dicendo che l’opinione di Einstein partiva
dal principio che che qualunque ente che possa agire sul mondo fisico
modificandolo deve essere tale che il mondo fisico possa agire su di esso
modificandolo. (vedi “Il Significato della Relativita’” di A. Einstein,
Bollati-Boringhieri).

In tal caso, in presenza dei *soli* due corpi fluidi e di niente altro
nell’universo, non c’e’ alcun motivo per preferire il riferimento di un
corpo rispetto all’altro, perche’ lo spazio senza un corpo che lo rappresenti
e’ pura metafisica e i due corpi e quindi i loro spazi sono in situazione
perfettamente simmetrica. In tal caso non si dovrebbe constatare alcuna
differenza nella forma dei due corpi anche se ruotano, uno nel giudizio
dell’altro, attorno all’asse rappresentato dalla fune.

Nella pratica invece la differenza si constata. Pero’ nella pratica
ci sono anche tutti gli altri corpi dell’universo, che pero’ stiamo supponendo
lontanissimi. Secondo Mach ed Einstein la differenza nel diverso comportamento
dei due corpi di prova si puo’ solo imputare ai corpi lontanissimi che
abbiamo ingenuamente pensato come irrilevanti. Sono proprio tali corpi
che fissano i riferimenti inerziali.

Secondo Mach i riferimenti inerziali sono in quiete (o in moto rettilineo
uniforme) con il moto medio delle masse nell’universo. E sono loro che
impongono tramite qualche interazione che la forma dei due corpi dell’esempio
di sopra sia diversa. Ovvero sono loro che impongono che il moto dei corpi
lontanissimi sia rettilineo uniforme (o di quiete). Quanto detto costituisce
il contenuto del Principio di Mach.

A noi tutto cio’ puo’ sembrare strano, perche’ siamo abituati a ragionare
con il concetto di forza, ma l’assunzione di corpi lontanissimi significa
proprio che essi non si esercitano forze. Per tale motivo cio’ che costringe
i corpi lontanissimi tra di loro a muoversi di moto rettilineo uniforme
*NON puo’ essere descritto da forze*. Per qusta ragione il programma di
indagine di questa super interazione che spieghi gli effetti inerziali
non poteva essere portato avanti nella meccanica classica e in effetti
Mach che lavorava alla fine dell’800 non riusci’ a procedere oltre.

Invece il programma di indagine sulla natura ultima dei riferimenti inerziali
poteva essere presumibilmente portato avanti nella relativita’ generale
di Einstein, mostrando come i sistemi di riferimento inerziali estesi
(non quelli locali che si usano in relativita’ generale), come il sistema
delle “stelle fisse”, fossero particolari soluzioni delle Equazioni di
Einstein della geometria dello spaziotempo. Queste equazioni infatti mostrano
proprio che la geometria dello spaziotempo e’ generata dalle masse presenti
in esso, in sostanziale conformita’ con le idee di Mach. Che io sappia
pero’ la cosa e’ finita presto e oggi ha perso interesse…anche perche’
ad una piu’ attenta analisi si vede che alcune delle soluzioni cosmologiche
delle equazioni di Einstein NON soddisfano completamente le idee di Mach,
per cui oggi si ritiene che la relativita’ generale sia solo in parte
machiana.