Sappiamo che massa ed energia sono ‘entità’ collegate tra loro, sappiamo anche che all’aumentare della massa-energia il tempo modifica il suo ‘scorrere’ e lo spazio si ‘curva’. Possiamo pensare a queste tre/quattro ‘entità’ profondamente unite tra loro, quali manifestazioni diverse di qualche cosa di unitario, che rispondono ad un criterio per cui al modificarsi di una anche le altre si modificano per mantenere una ‘parità’?

Prima di
tutto vorrei precisare che le quantità definite in fisica, non sono delle
“entità”, ma si chiamano “grandezze fisiche”, od anche “osservabili”,
perché sono quantità rivelabili con apparecchiature sperimentali e quindi
misurabili, e dotate di unità di misura.

In secondo
luogo vorrei fare una breve premessa.
Secondo la Teoria della Relatività Speciale (o Ristretta) di Einstein,
spazio e tempo sono intimamente legati, costituendo una unica varietà
geometrica a quattro dimensioni, il continuo spazio-tempo. In assenza
di campi gravitazionali tale spazio-tempo si dice piatto (dominio della
Relatività Ristretta), mentre in presenza di campi gravitazionali lo spazio-tempo
è intrinsecamente curvo (dominio della Relatività Generale). Localmente
e lontano da forti sorgenti gravitazionali uno spazio curvo si assume
piatto, anche se la topologia globale dello spazio-tempo può essere alquanto
diversa da quella locale, (la topologia è la morfologia intrinseca qualitativa
di un ente geometrico).

Lo spazio
quadridimensionale piatto della Relatività Ristretta, detto spazio-tempo
di Minkowski, non è semplicemente pensabile, come si è soliti dire, in
termini di uno spazio tridimensionale usuale euclideo con una ulteriore
dimensione “perpendicolare” in più (che non riusciamo a raffigurarci con
la nostra mente ed occhi tridimensionali). Infatti il tempo è simile allo
spazio ma “non uguale”, avendo un segno algebrico opposto rispetto allo
spazio. L’identificazione di una metrica in uno spazio vettoriale è indispensabile
se si vogliono fare predizioni quantitative su tale spazio. Lo spazio
si dice così normato (dotato di una norma), ed è possibile definire su
esso il prodotto scalare tra vettori, la distanza tra due punti e così
via. Dato che il tempo ha segnatura opposta nella metrica, la distanza
tra due punti nello spazio-tempo di Minkowski (meglio dire tra due eventi),
può essere anche negativa. Questo dà una caratterizzazione diversa rispetto
a quella dello spazio cartesiano e lo spazio-tempo si dice “pseudoeuclideo”.
Uno spazio euclideo, anche a quattro dimensioni, ha come invariante rispetto
a trasformazioni di coordinate che fanno passare sempre ad assi ortogonali,
(in questo caso sarebbero le rotazioni), la sfera. Lo spazio pseudoeuclideo
ha come invariante, rispetto al gruppo di trasformazioni ivi definito
(le trasformazioni di Lorentz, che in pratica sono delle rotazioni più
delle “spinte”), l’iperbole. Tutte le stranezze della Relatività Ristretta,
come la non simultaneità di eventi visti da osservatori differenti, la
dilatazione dei tempi, la contrazione delle lunghezze, i paradossi come
quello dei gemelli, nascono dal fatto che spazio e tempo hanno segni opposti.
In effetti tale diversità è esperienza di tutti i giorni. Sappiamo raffigurarci
oggetti ed immagini tridimensionali dello spazio, ma il tempo, la cosiddetta
quarta dimensione nella quale siamo immersi, sfugge alla nostra percezione,
e d’altro canto non risulta facile dare una non ambigua ed esaustiva definizione
fisica e filosofica del tempo.

Fatta questa

premessa, resta comunque innegabile il fatto che spazio e tempo sono aspetti
diversi dello stesso ente geometrico. Su esso sono definiti ad esempio
dei vettori a quattro componenti, come il quadrivettore posizione, che
una volta fissato un sistema di riferimento si può scrivere come X = (ct,
x, y, z
), dove c è la velocità della luce.
La prima componente (si chiama solitamente la componente zero) dipende
dal tempo, ed ha le dimensioni di una lunghezza come le altre tre componenti
spaziali. E’ chiaro che le componenti di un quadrivettore variano, per
trasformazioni di coordinate, in modo “collegato”, come le componenti
di un usuale vettore dello spazio (x, y, z) visto da due diversi
riferimenti. Il tempo è legato allo spazio, essendo questi niente altro
che le componenti di uno stesso ente geometrico. Una estensione di quello
che è chiamato vettore quantità di moto od impulso p, nello spazio-tempo
si chiama quadrivettore impulso o quadrimpulso che, una volta fissato
un sistema di coordinate, si può scrivere come

L’energia
è collegata all’impulso essendo la prima componente (la componente zero,
la componente “temporale”) dello stesso quadrivettore. Il vettore impulso
corrisponde alle rimanenti tre componenti spaziali. Abbiamo quindi il
legame tempo-spazio ed energia-impulso.
Il quadrivettore posizione X è definito nello spazio-tempo, il quadrimpulso
P è un vettore definito nello spazio impulso-energia, sempre a quattro
dimensioni. Anche questi due spazi, e quindi le componenti dei due quadrivettori
X e P, sono in un certo senso collegati.
In Meccanica Analitica questi due spazi si dicono “coniugati canonicamente”.
In sostanza due variabili dinamiche sono coniugate canonicamente quando
sono complementari l’una all’altra. Ad esempio in Meccanica Quantistica
le grandezze coniugate si “escludono” a vicenda per il principio di indeterminazione.
Tipici esempi sono la coordinata x e la rispettiva componente x
dell’impulso, oppure il tempo t e l’energia E.
Per quanto riguarda il legame energia-massa, si può considerare lo spazio
dei quadrimpulsi. In esso per ogni particella risulta definita una superficie

detta “guscio della massa” (mass-shell), che è data dal porre il
modulo del quadrivettore P uguale alla massa a riposo m (moltiplicata
per c). Ricordando che in uno spazio pseudoeuclideo la componente
temporale ha segno opposto a quelle spaziali, si ha:

Se la particella
è a riposo, cioè è ferma nel sistema di riferimento (p = 0), si
ha la nota relazione che esprime l’equivalenza tra massa a riposo ed energia

Le grandezze
massa ed energia sono comunque degli osservabili diversi, infatti si misurano
con unità di misura diverse, pertanto è più corretto dire che la massa
ha un suo equivalente in energia, piuttosto che affermare che la massa
è energia.

Ora in
Relatività, come nel resto della fisica, non tutte le grandezze fisiche
si presentano in natura come scalari (numeri, come la temperatura o la
densità ad esempio) e come vettori (a tre o quattro componenti), ma anche
come tensori. Essi sono una generalizzazione delle due categorie
precedenti. Un tensore è un oggetto geometrico dotato di un certo numero
di componenti, che si trasformano (in modo sempre collegato, essendo delle
componenti), da un riferimento ad un altro.
Secondo le equazioni di Einstein della Relatività Generale, la sorgente
del campo gravitazionale non è solo lo scalare massa m (o la densità
), come era
stato detto da Newton, ma una cosa leggermente più complicata, il tensore
energia-impulso-sforzi T.
Esso è sempre definito nello spazio a 4 dimensioni, ma ha 4×4=16 componenti,
si può rappresentare come una matrice quadrata 4×4, ed ogni sua componente
è dotata di due indici (non di uno come per i vettori).

T
è la sorgente del campo gravitazionale e quindi lo sono tutte le componenti
di esso, pressioni e densità di impulso di energia e di massa. Combinando
questo con il fatto che lo spazio è curvo, si ottiene l’essenza della
Relatività Generale, le equazioni di Einstein

A secondo
membro abbiamo la fisica, la sorgente del campo gravitazionale, la materia
e l’energia, cioè le componenti del tensore T, (G è la costante
di gravitazione universale).
Al primo membro abbiamo la geometria dello spazio-tempo: le componenti
del tensore R, collegato ad un tensore a 4 indici, cioè a 256 componenti
(non tutte indipendenti per nostra fortuna!) detto tensore di curvatura
di Riemann; le componenti del tensore metrico g; lo scalare di
Ricci R.
Le equazioni di Einstein (si ha una equazione diversa per ogni valore
degli indici ),
implicano in sintesi l’uguaglianza

La geometria
dello spazio-tempo determina il moto della materia, mentre la materia
e l’energia determinano la curvatura dello spazio-tempo. Questa è la caratteristica
dell’indissolubile vincolo tra la curvatura e la distribuzione di materia
ed energia.
La storia della fisica ci insegna che, quasi sempre, fenomenologie e settori
diversi, sono stati uniti appena si è avuta la necessaria intuizione matematica
per farlo. Una volta compreso il linguaggio matematico con cui è scritta
la natura, essa ci risulta tutto sommato semplice e quindi bella (prendendo
a definizione il concetto classico dei greci di bellezza come semplicità),
essendo riassumibile in poche determinanti equazioni. Le quantità fisiche
seguono questo iter; spesso grandezze in apparenza differenti, sono state
riunite e collegate tra loro da una teoria fisica dalla matematica più
complicata forse, ma sicuramente più generale e più elegante.