In cosa consiste la teoria della complessità? La teoria del caos è qualche cosa di diverso?

Piu’ che teoria della
complessita’ e’ piu’ corretto parlare di matematica della
complessita’.
La complessita’ nel linguaggio comune e’ la proprieta’ di
qualcosa di non esser semplice.
Fino a non molto tempo fa gli scienziati si sono
interessati solo di questioni “semplici”.

Ma cosa vuol dire “complesso”, dal punto di
vista scientifico? Ci sono molte definizioni, eccone
alcune:
– la complessita’ di un problema matematico e’ il numero
di operazioni minimo necessarie per risolverlo
– la complessita’ di un sistema fisico e’
l’amplificazione dell’errore che si ha nelle previsioni
future
– la complessita’ di un ente geometrico e’ la
“lunghezza” della sua descrizione.

Ma vediamo qualche esempio nelle tre categorie:
1) Prendiamo un semplice problema matematico, quello
della scomposizione in fattori di primi di un numero. Si
puo’ calcolare il numero minimo di operazioni necessarie
per risolvere il problema. L’importanza di questo
problema e’ che se il numero di partenza e’ un numero
fatto da parecchie decine di cifre (un numero grande,
insomma, ma che comunque si potrebbe scrivere su di un
foglio) la complessita’ matematica del problema e’ molto
grande. Questo vuol dire che occorrono moltissime
operazioni per poter risolvere il problema, cosi’ tante
che anche un computer molto potente impiegherebbe un
tempo spropositato per giungere al risultato finale. E’
per questo che questa tecnica e’ alla base di alcune
applicazioni pratiche (link alla recente risposta in
merito). Esistono dei problemi matematici, tutto sommato
semplici nella loro presentazione (come puo’ esserlo
“scomponi il seguente numero in fattori primi”)
che hanno una complessita’ matematica grandissima,
addirittura cosi’ grande che se immaginassimo un
calcolatore ideale costituito da tutti gli atomi
dell’universo, in grado di effettuare un’operazione nel
tempo del piu’ breve fra i fenomeni fisici conosciuti,
ebbene tale calcolatore (di gran lunga piu’ potente di
qualsiasi sviluppo immaginabile nel progresso della
tecnica) impiegherebbe piu’ tempo dell’eta’ dell’universo
per risolvere tali problemi.

Cio’ posto si puo’
intuire che la complessita’ matematica diventa un
concetto interessantissimo sia sul piano pratico (ed in
particolare per le scienze computazionali), sia sul piano
teorico-epistemologico: l’esistenza di problemi che
certamente ammettono soluzione, ma con una soluzione
impossibile da determinare e’ una cosa molto
affascinante. Voglio qui sottolineare il fatto che la
complessita’ matematica e’ definita come il numero MINIMO
di operazioni necessarie per risolvere il problema. Nei
problemi pratici, spesso, non si ha a che fare con
tecniche di risoluzione che usino il minimo numero di
operazioni possibili, a volte per semplicita’, a volte
perche’ non si e’ ancora stati in grado di dimostrare
qual’e’ il vero numero minimo di operazioni richieste.

2) Vediamo adesso un semplice esempio fisico, noto a
tutti per le sue caratteristiche: le previsioni del tempo
sul mediterraneo. I fenomeni fisici che danno luogo alle
manifestazioni metereologiche sono tutti ben noti, cosi’
come ben note sono le leggi fisiche che li governano.
Apparentemente saremmo in grado di effettuare previsioni
del tempo precise, a patto di conoscere la situazione
attuale. Il problema e’ che le misurazioni di grandezze
fisiche sono sempre affette da un “errore”:
quando per esempio si dice che la pressione atmosferica
e’ di 1012mbar, si intende, in genere, che tale valore e’
compreso tra 1011.5mbar e 1012.5mbar. Questa
“incertezza”, che puo’ sembrare trascurabile,
si amplifica sempre quando si fanno delle previsioni. Ma,
mentre in una certa classe di fenomeni tale incertezza,
pur aumentando, resta entro limiti ragionevoli, per altri
sistemi, detti caotici, l’incertezza diventa in breve
tempo talmente grande che la previsione perde
completamente senso. La “velocita’” con cui
cresce l’errore e’ esponenziale per i sistemi caotici.
Le previsioni del tempo sul mediterraneo sono un’esempio
di previsioni fatte su di un sistema caotico: e’ facile
“indovinare” se piovera’ nel pomeriggio, ben
piu’ difficile “indovinare” se ci sara’ il sole
fra quattro giorni, impossibile sapere che tempo fara’
tra un mese. Ben diverso il caso delle previsioni
astronomiche, invece: in questo caso e’ possibile
prevedere la posizione dei pianeti, delle comete, degli
asteroidi con buona precisione, anche fra moltissimi
anni. A patto pero’ di conoscere la loro posizione e
velocita’ attuale.

Non c’e’ molto accordo
su che senso dare alla parola “caos” e percio’
taluni (fra cui il sottoscritto) preferiscono evitarla.
In linea di massima si puo’ dire che un sistema fisico e’
caotico quando il crescere
dell’errore sulle previsioni e’ esponenziale nel tempo.

3) Il caso della complessita’ geometrica e’ quella che ha
dato molto lavoro a chi fa grafica al computer. Se per
descrivere un cerchio e’ sufficiente dirne il raggio, ben
piu’ lunga e’ la descrizione del frattale in figura.

frattale (132 Kb)