Dato il numero generico “abcd efgh ilmn opqr ” dove al posto di ogni lettera è possibile inserire una cifra da 0 a 9 estremi compresi , volevo sapere se per calcolare il numero di combinazioni possibili (es: 1342 5674 4465 7890, 2222 3432 5465 6789 ,…….ecc.) era corretta l’intuizione di moltiplicare per se stesso sedici volte, il numero massimo di cifre utilizzabile per ogni lettera , cioè 10 ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,). Risultato delle combinazioni possibili: 10.000.000.000.000.000. Se l’intuizione dovesse essere corretta desidererei sapere di conseguenza se potete dirmi dove trovare una dimostrazione dell’eventuale regola generale che dato un certo numero abcde….ecc. dove ad ogni lettera è possibile sostituire un cifra da 0 a 9 il numero di combinazioni ottenibili è dato da 10 moltiplicato per se stesso per ecc. volte. Più in generale se dato un numero di x lettere dove al posto di ogni lettera è possibile sostituire y cifre, il numero di combinazioni possibili è dato dal moltiplicare per se stesso y ,x volte. Ovviamente se la mia intuizione non dovesse essere giusta mi piacerebbe sempre sapere la soluzione a questo quesito con relativa dimostrazione.

Questo è un caso particolare della situazione che tutti i libri chiamano
di “estrazione con ripetizioni”. Per “generare” un numero di x cifre ognuna
delle quali possono assumere y valori, infatti, un possibile modo è mettere
y palline numerate in un sacchetto, pescarle e metterle ordinatamente
in x caselle distinte.

La dimostrazione che i possibili risultati di questo tipo di estrazioni
è proprio y^x non è praticamente mai scritta, ma quasi sempre
lasciata in gran parte all’intuizione. Possiamo comunque pensare al fatto
che una “stringa” di x elementi scelti nell’insieme {1, 2, …, y} non
è altro che una x-upla ordinata di elementi ognuno dei quali appartiene
all’insieme {1, 2, …, y}, cioè un elemento dell’ “insieme potenza”

{1, 2, …, y}^x

che notoriamente ha y^x elementi.

Se poi vogliamo dimostrare anche quest’ultima affermazione, il procedimento
standard è l’induzione su x. Dal momento che due coppie ordinate differiscono
se e solo se differiscono in uno dei due elementi si ha che il numero
di elementi del prodotto cartesiano A x B è pari al prodotto del numero
di elementi di A per il numero di elementi di B. Inoltre si ha che per
il prodotto cartesiano vale la proprietà associativa: A x (B x C) = (A
x B) x C, così che Aⁿ = A^(n-1) x A. La dimostrazione
si completa “incastrando” opportunamente questi due elementi con lo scatto
induttivo.