Qual è l’equazione della curva avente curvatura proporzionale all’ascissa?

La risoluzione del quesito posto dal lettore, per curve
nello spazio porta ad equazioni differenziali decisamente complesse. La
[1] illustra l’espressione del raggio di curvatura k di una curva a
nello spazio.

            
[1]

Restringendo il campo di applicazione al piano cartesiano,
probabilmente, la domanda corretta è “qual’è
l’equazione della curva avente curvatura proporzionale al valore assoluto
dell’ascissa”
, poiché le curve non possono assumere curvature negative.

L’argomento sarebbe molto vasto, accenniamo brevemente
che il raggio di curvatura è proporzionale alla derivata seconda della
funzione, da cui otteniamo l’equazione differenziale:

y’’=a x

ed integrando due volte a passi successivi si ottiene
una famiglia di cubiche.

La figura illustra la cubica principale
y=x3,avente raggio di curvatura che aumenta in ragione
proporzionale al valore assoluto dell’ascissa.

 

Dall’autore, un cordiale augurio di Buon Millennio.