Una funzione definita su tutto il campo reale a valori reali se è APERTA (cioe manda aperti in aperti) può essere non continua?

Ringrazio Annalisa per
aver posto una questione interessante.

La risposta è no: una
funzione reale di variabile reale che mappi aperti in
aperti deve essere continua.

 

Definizioni

Sia intervallo
e funzione reale di variabile reale,

 

I ammette estremo
inferiore, indicato con x = inf I,
se

I ammette minorante,
se

I ammette estremo
superiore, indicato con x = sup I,
se

I ammette maggiorante,
se

I è detto aperto
sse I non ammette sup o inf

f è aperta
sse f(I) aperto, per ogni I aperto

f è continua
in I se

 

Osservazioni

 

1) Il
minorante/maggiorante non appartiene all’intervallo,
mentre l’estremo superiore/inferiore vi appartiene.
E’ evidente come un intervallo aperto debba essere
privo di uno dei due estremi. Ciò significa che
l’intervallo [-2,8) ha estremo inferiore -2
e maggiorante 8, ed è aperto perché privo di
estremo superiore.

 

2) Sulla esistenza ed
unicità del limite: il limite se esiste deve essere
unico, per definizione ciò implica la coincidenza dei
limiti destro e sinistro, ovvero

3) Una funzione
discontinua in un punto, quindi, ammette limiti destro e
sinistro distinti (discontinuità di salto), oppure
ammette limiti coincidenti ma presenta una discontinuità
a salto, o semplicemente non è definita nel
punto.

 

4) Se f è
aperta, allora la sua applicazione ad un aperto qualsiasi
deve generare un intervallo privo di uno dei due estremi,
viceversa, se esiste un intervallo aperto I tale
che f(I) abbia sup e inf,
allora f non può essere aperta.

Proposizione

Sia funzione
reale di variabile reale,

f aperta
f continua

Dimostrazione:

Si supponga per assurdo
che f, essendo aperta per ipotesi, non sia
continua , allora

f non
continua , o presenta
disc. di salto o non definita in x₀

supponiamo, senza
perdita di generalità, che f sia crescente
intorno ad x₀, e che il suo
limite destro sia ivi pari ad a (oss. 2 e 3); si
consideri inoltre un intervallo aperto minorato da x₀,
largo d e chiuso a destra, ovvero:

I= (x₀,
x₀+d ]

 

applicando f ad I,
otteniamo f(I) = [ a, f(x₀+d)
], ovvero f mappa un aperto in un intervallo
dotato di sup ed inf, quindi
chiuso (oss. 1). Ciò implica (oss. 4) che f non
può essere aperta.

Ma f è aperta
per ipotesi, quindi, la tesi segue per contraddizione.