Vorrei conoscere un metodo per calcolare li logaritmo di un numero, in una qualsiasi base, usando le quattro operazioni

Dati due numeri reali positivi a , b e a
1,
con il termine “logaritmo in base a di b”,
generalmente denotato con il simbolo ,
si indica quel numero l a cui si deve elevare la base a
per ottenere la base b, in altri termini deve risultare
.

Così ad esempio abbiamo che

,
,

.

Osserviamo che, in generale, è
un numero decimale del tipo c,m dove c è la parte
intera detta caratteristica ed m è la parte decimale
detta mantissa. Il problema del calcolo del logaritmo consiste
nel calcolo della sua caratteristica e della sua mantissa.

Come si evince dagli esempi precedenti, il logaritmo di un numero b
in una data base a, può essere un numero positivo o negativo,
un intero (nel qual caso la mantissa vale 0) o razionale (nel qual caso
la mantissa o è formata da un numero finito di cifre, oppure esse
si ripetono in modo periodico).

Ma nella grande maggioraza dei casi, come ad esempio log25 (quando
la base è 10 solitamente viene omessa) i logaritmi sono numeri
irrazionali, cioè la mantissa è formata da un numero illimitato
di cifre, che non hanno un andamento periodico. In tutti questi casi è
impossibile conoscere tutte le cifre decimali che compongono il logaritmo.

Pertanto, in generale, il calcolo di un logaritmo non può che
essere approssimato, e quindi non può esistere nessun procedimento
che, facendo uso delle quattro operazioni elementari
, dia esattamente
come risultato il logaritmo che si vuole calcolare.

Vediamo adesso come si può calcolare in modo approssimato un logaritmo;
a tal fine ci serviremo della formula del passaggio di base:

dove a indica nuova base, c la vecchia e b il numero
del quale si vuole calcolare il logaritmo. Utilizziiamo questa formula
per trasformare un logaritmo in base qualsiasi in logaritmi decimali,
ottenendo così:

che, come possiamo notare, è stato ottenuto mediante un’operazione
elementare, ossia la divisione dei due numeri log b e log a
. Tutto sta adesso a calcolare caratteristica e mantissa dei logaritmi
decimali.

Per quanto riguarda la caratteristica, si può osservare che:

  • se x >1 e se a sua parte intera è composta da n
    cifre allora risulta
    da cui, tenendo presente che i logaritmi con base maggiore di 1 “conservano
    le disuguaglianze”, otteniamo cioé
    .
    Ossia il logaritmo è compreso tra n-1 ed n, e
    quindi lo sarà anche la sua caratteristica.

  • se 0<x<1 e se il numero di zeri che precedono la prima
    cifra significativa è n (contando anche lo zero prima della
    virgola) allora ,
    da cui
    cioè .
    Quindi in questo caso la caratteristica è un numero intero
    negativo il cui valore assoluto è uguale al numero degli zeri
    che precedono la prima cifra significativa.

Resta adesso da trovare la mantissa. Essa normalmente viene letta su
apposite tabelle, dette tavole logaritmiche . Un modo elementare
per calcolare queste tavole si basa sulla seguente osservazione:

la mantissa non dipende dal posto occupato dalla virgola
nel numero considerato

ad esempio i numeri 35; 3,5; 0,35; 35000 hanno tutti la medesima mantissa
e quindi in pratica il logaritmo di 0,35 viene a coincidere con le mantisse
dei logaritmi di 3,5; di 35000 etc, etc

In base a questo fatto, si può pensare di tabellare i logaritmi
di un’elevata quantità di numeri compresi tra 0 e 1, per poi usarli
come mantissa per altri logaritmi. Per fare ciò consideriamo due
progressioni, di cui la prima è geometrica di ragione ,

e la seconda è aritmetica di ragione –r

…..-nr,…….-2r, -r , 0,

e da come si può notare, i suoi termini sono i logaritmi decimali
della successione geometrica. Scegliendo r molto piccolo, due termini
successivi della prima progressione differiscono di pochissimo tra loro,
e si può trovare così il logaritmo di un qualsiasi numero
con uno scarto molto piccolo. Se scegliamo r=0,01 facendo variare
n da 500 a 0 si ottiene la seguente tabella:

.

Dalla tabella leggiamo che log 0,31622 =-0,5, log 0,50118=-0,3 etc etc.
Chiaramente la tabella qui sopra non è completa, se fosse stata
completa avremmo trovato nella 2° colonna una successione di numeri
molto vicini tra loro e nella 3° colonna i rispettivi logaritmi; se
scegliamo n più grande otteniamo i logaritmi di numeri più
prossimi a zero, scegliendo r più piccolo otteniamo i logaritmi
di un numero maggiore di valori.

Esistono inoltre dei metodi numerici che permettono di calcolare i logaritmi,
ad esempio si può ricorrere allo sviluppo in serie di potenze,
che però richiede una trattazione non adatta in questa sede. A
titolo di esempio, scriviamo lo sviluppo in serie di potenze per i logaritmi
neperiani, caratterizzati dal fatto di avere come base il numero di Nepero

dove
. Scegliendo x=1 si ha:


Questa è una somma di infiniti termini (detta serie numerica) e
pertanto, per ragioni di ordine pratico, siamo costretti a troncare la
sommatoria da un certo punto in poi; più è numeroso il numero
dei termini che sommiamo, tanto più ci avviciniamo al vero valore
del logaritmo.