Vorrei avere delle informazioni riguardo gli studi sul pentagono nell’ambito della filosofia antica. Grazie.


Gli studi sul pentagono nell’ambito della filosofia antica.

Ai pitagorici si attribuisce la conoscenza del fatto che un piano si
può ricoprire soltanto con triangoli equilateri, quadrati ed esagoni
regolari. Ad essi si fa merito della scoperta dei cinque poliedri regolari
convessi, da loro denominati “figure cosmiche
perchè facevano corrispondere il tetraedro, il cubo, l’ottaedro
e l’icosaedro rispettivamente al fuoco, alla
terra, all’aria
ed all’acqua, riserbando il dodecaedro a
rappresentare tutto il cosmo.

La costruzione del dodecaedro e dell’icosaedro regolari esigono quella
del pentagono regolare; infatti i Pitagorici
erano talmente familiari con questa figura, che, come segno di riconoscimento,
avevano adottato il pentagono stellato, detto
da alcuni il pentagramma. Il pentagono regolare aveva fatto anteriormente
la sua comparsa nell’arte babilonese.

Una delle questioni più appassionanti della geometria pitagorica
è la costruzione del pentagono regolare. Se prendiamo come punto
di partenza un poligono regolare ABCDE e tracciamo le cinque diagonali,
queste diagonali si intersecano nei punti A’B’C’D’E’, che formano un altro
pentagono regolare.



Osserviamo che il triangolo BCD’ è simile al triangolo isoscele
BCE e notando anche le numerose coppie di triangoli congruenti esistenti
nella figura, non è difficile vedere che i punti di intersezione
delle diagonali A’B’C’D’E’ dividono le diagonali stesse in maniera sorprendente.
In ciascun caso un punto di intersezione delle diagonali divide una diagonale
in due segmenti disuguali tali che il rapporto dell’intera diagonale al
segmento maggiore è uguale al rapporto di questo segmento minore.
Questa suddivisione della diagonale è la famosa “sezione aurea”
di un segmento.

Osserviamo che alla scoperta dell’incommensurabilità si poteva
pervenire anche con la seguente osservazione: Se si tracciano le cinque
diagonali di un pentagono regolare, tali diagonali formano un pentagono
regolare più piccolo, e le diagonali del secondo formano a loro
volta un terzo pentagono regolare, ancora più piccolo. Questo processo
può essere continuato indefinitamente, dando luogo a pentagoni
tanto piccoli quanto si vuole: ciò porta a concludere che il rapporto
tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare non è razionale.