Ricavare
l’espressione analitica, cioè l’equazione che descrive la lemniscata
è compito estremamente arduo, tuttavia si possono compiere due
tipi di approssimazione.
- il primo metodo fa riferimento alla teoria del moto della Terra intorno
al Sole e consiste nel calcolare il tempo vero e locale di culminazione
del Sole e fare la differenza con quello del sole fittizio con moto
uniforme sull’equatore. Il tempo vero di culminazione può essere
calcolato con i soliti metodi di calcolo delle effemeridi sulla base
dei parametri dell’orbita terrestre calcolando l’ascensione retta del
Sole, che poi è il tempo siderale di transito al meridiano.
- il secondo è basato su uno sviluppo in serie trigonometrica
in cui entrano la longitudine eclittica del Sole, l’eccentricità
dell’orbita terrestre e così via. Nell’ambiente nautico viene
usata una serie di Fourier di 5 termini (2 seni, 2 coseni più
la costante) che fornisce un’approssimazione di qualche secondo di tempo.
Dal punto
di vista didattico però io consiglio di esprimere l’equazione del
tempo come sovrapposizione di due effetti: la variazione del moto apparente
del Sole dovuto alla velocità variabile della Terra intorno al
Sole e quella dovuta all’inclinazione dell’eclittica sull’equatore terrestre.
Dato che
l’eccentricità dell’orbita terrestre e l’inclinazione dell’eclittica
sono modesti, allora possiamo approssimare queste variazioni lungo il
corso dell’anno con un andamento sinusoidale; in realtà non è
così, ma l’errore ammonta a poco più
di un minuto.
In tal caso
le espressioni sono:
 |
componente dovuta all’inclinazione dell’eclittica (-> come si ricava) |
| componente dovuta all’eccentricità dell’orbita terrestre (-> come si ricava) |
N.B. l’argomento
del seno è espresso in radianti ed il risultato è espresso
in minuti.
Nel grafico
seguente possiamo vedere le due funzioni (rispettivamente in blu e in
nero) e la loro somma (in rosso) che approssima bene l’equazione del tempo.
In ascissa l’unità di misura è il giorno; l’origine coincide
con l’inizio dell’anno siderale.
Il
grafico precedente deriva dalla somma di tanti piccoli ritardi o anticipi
giornalieri, il cui andamento è illustrato nel grafico seguente.
Lo scarto massimo tra la durata massima del giorno (il 23 dicembre – 24h00m30s)
e la durata minima (il 17 settembre – 23h59m39s) ammonta a 52 secondi.
