La definizione formale di somma estesa ad un numero infinito di termini può essere data in termini di limite; infatti data una successione reale xn, è possibile senza alcun problema definire la somma x1+…+xk, denotata anche con
Si è ottenuta quindi una nuova successione Sk che potrebbe ammettere limite per k -> +∞, denotato con
Nel caso in cui questo limite risulti finito, si dice che la serie degli xn risulta convergente.
Ci sono vari metodi per studiare il comportamento delle serie, e spesso uno non riesce a dire di più che il comportamento della serie stessa; ovvero è molto difficile, in generale, calcolare il valore esatto di una serie convergente.
In certi casi notevoli questa operazione è invece possibile; per esempio il caso delle serie geometriche, date dalla successione xn=qn, per un certo q assegnato numero reale, con n naturale (0 compreso). In tal caso si ha
da cui
passiamo ora al limite per k -> +∞: qk+1 -> 0 se |q|<1, mentre invece non ammette limite se q=1 o q=-1, o diverge negli altri casi. Quindi la serie geometrica di termine qn converge se e solo se |q|<1, ed in tal caso la somma vale
Ci sono altre serie notevoli per cui è possibile il calcolo della somma, per esempio quando si intravede nella serie stessa lo sviluppo in serie di una funzione nota. A titolo di esempio, data la successione xn=1/ n!, la serie
converge, e, ricordando che
si trova