La domanda così come è stata posta non è molto corretta,
infatti, l’operazione di prodotto è definita solo per i numeri,
siano essi naturali, reali o complessi, mentre l’infinito non è
un numero. Utilizzando però la teoria dei limiti è possibile
dare un senso alla domanda anche se, come vedremo essa ammette più
risposte. Uscendo dalla teoria dei limiti, e più in generale dall’analisi
classica che si studia a scuola, ci si imbatte in una nuova teoria dei
numeri che prende il nome di Analisi non Standard e che contempla l’esistenza
di numeri infiniti ed infinitesimi, e alla quale può essere interessante
dare un velocissimo sguardo.
Pertanto è conveniente dividere la risposta la in
due parti, la prima delle quali riguardante la teoria classica dei limiti
e la seconda l’analisi non standard.
Analisi classica e teoria dei limiti
Questa
pagina non è la sede opportuna per una trattazione, sia pur superficiale,
sulla teoria dei limiti, quindi consiglio a coloro che fossero completamente
a digiuno sull’argomento di dare un’occhiata alla risposta di
C. Consoli sull’argomento: http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8673
per i concetti basilari, mentre per una trattazione più approfondita
si possono consultare i link consigliati a fondo pagina, o un qualunque
testo di matematica del triennio delle superiori, possibilmente del liceo
scientifico
Come già scritto inizialmente, ricorrendo alla teoria
dei limiti è possibile dare un senso al prodotto 0.¥,
anche se esso non ammette un risultato univoco, nel senso che sarà
specificato tra poco, e per tale motivo si dice che questo prodotto è
una forma indeterminata; altri tipi di forme indeterminate, sono +¥
–¥, e 1¥.
Nel seguito, quando il segno non assume alcune rilevanza, con il simbolo
¥, verrà sottointeso indifferentemente
sia +¥ che –¥.
Nell’ambito della teoria dei limiti il prodotto 0.¥,
nasconde dietro di sé la seguente circostanza:
siano f e g due funzioni definite in un intorno
I del punto c, tali che 
e
allora bisogna calcolare quanto vale 
.
A seconda di chi siano le funzioni f(x) e g(x) e il punto
c questo limite può assumere diversi valori, e più precisamente
Ad esempio
allora 
allora 
allora 
allora 
che
non esiste.
Come si vede, tutto dipende dalla scelta delle funzioni
f e g e dal punto c, se nell’esempio 3 avessi considerato la funzione
2/x , anziché 1/x avremmo ottenuto come risultato 2, quindi non
è assolutamente vero che 0.¥=1,
ma varia caso per caso.
Parte seconda: analisi non standard e numeri iperreali
Nel 1986, il matematico Giovanni Veronesi getta le basi
di quella che verrà poi chiamata analisi non standard costruendo
un continuo non archimedeo, detto insieme dei numeri iperreali, contenente
grandezze infinite ed infinitesime (il principio di Archimede afferma
che date due grandezze, esiste sempre un multiplo dell’una che supera
l’altra). Anche in questo caso non è conveniente dilungarsi
sull’argomento, comunque per una semplice panoramica su questo tema,
che è utile per capire quanto segue, si può consultare la
pagina http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8672
di questo stesso sito o, per chi volesse approfondire consiglio la pagina
http://digilander.iol.it/rikidox/math.html,
in cui è possibile scaricare un file di testo in formato pdf.
In questo contesto voglio solo sottolineare il fatto che
nell’analisi non standard, di numeri infiniti né esistono
moltissimi (in realtà sono infinti) e quindi anche i questo ambito
l’operazione 0.¥ non si può
considerare. Senza scendere molto nei particolari diciamo che nell’insieme
dei numeri iperreali si definisce una relazione d’ordine totale,
che, ristretta all’insieme dei numeri reali è la relazione
d’ordine a cui tutti siamo abituati. Introdotta questa relazione,
si definisce numero infinito un numero iperreale maggiore, in valore assoluto,
di ogni numero naturale, ad esempio (1,2,3, …, n…) e (2,3,4,…..n+1,
…..) sono due numeri infiniti ed inoltre il primo e il minore del
secondo. Se a=(a1, a2, a3, a4,…an,
….) e b=(b1, b2, b3, ……….,
b1,….) sono 2 numeri iperreali ( o per meglio dire sono
rappresentanti di 2 numeri iperreali) il prodotto a.b è definito
come (a1 b1, a2 b2, a3
b3, a4,an bn, , ….);
quindi se a è numero infinito allora
a.0 =(a1, a2, a3, a4,…an,….).(0,0.0,……,0…..)=(0,0,0,….,0…)
per ogni numero infinito a .
Link consigliati.
http://www.dm.unife.it/MatFarmacia/appunti/matud02/node6.html