Supponiamo di avere dieci persone attorno a un’urna chiusa
che contiene dieci palline, indistinguibili tra di loro al tatto e numerate
da 1 a 10. Ci sono due modi di “pescare a sorte” un numero per ognuna
delle dieci persone: è infatti possibile che le estrazioni avvengano
con ripetizione (ognuna delle persone pesca una pallina a caso,
legge il suo numero e poi ributta la pallina nell’urna prima che tocchi
di pescare al successivo: in questo modo l’urna contiene 10 palline a
ogni estrazione) oppure senza ripetizione (ognuna delle persone
pesca una pallina a caso senza ributtarla nell’urna: in questo
modo l’urna contiene 10 palline quando pesca il primo, 9 quando pesca
il secondo e così via fino a una sola pallina quando pesca l’ultimo).
La domanda non specifica a quale dei due casi ci stiamo riferendo, ma
è interessante analizzare entrambi i casi e confrontare le due
risposte. Vedremo in particolare, sebbene questo possa sembrare a prima
vista poco più di un “problemino”, che dallo studio della seconda
situazione ricaveremo le cosiddette “formule delle probabilità
di eventi intercambiabili” che sono argomenti fondamentali dei corsi di
calcolo delle probabilità.
Indichiamo con l’indice
i (che può assumere i valori da 1 a 10) il numero della
persona che sta estraendo la pallina e con l’indice j (anch’esso
a valori tra 1 e 10) la pallina estratta. Richiamiamo ora le formule di
calcolo elementare delle probabilità che useremo nel seguito (e
che supponiamo note).
- La probabilità che si verifichi un evento A,
quando gli eventi possibili sono ugualmente probabili e in numero finito
(come nei casi che stiamo esaminando), viene definita con la formula
(dove con “casi favorevoli” si intendono “i casi in cui l’evento si
verifica”). - La probabilità che si verifichino contemporaneamente due o
più eventi indipendenti è (più o meno per definizione)
pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. - Nel caso in cui gli eventi A1, A2,
…, An si escludano a vicenda (cioè quando
non è possibile che due di loro si verifichino contemporaneamente),
la probabilità che si verifichi uno qualsiasi di loro è
pari alla somma P(A1) + … + P(An)
delle loro singole probabilità.
Useremo inoltre con disinvoltura i concetti di “fattoriale”
e di “coefficiente binomiale”: li assumiamo noti al lettore, ma li richiamiamo
brevemente. Il fattoriale di un numero intero n si indica
con la notazione n! ed è per definizione il prodotto di
tutti i numeri tra 1 e n: così per esempio, 5! = 5
4
3
2
1 = 120. Il fattoriale di un numero è il conteggio delle
possibili disposizioni diverse di n oggetti: per convincersi di
questo, basta pensare che se per esempio abbiamo a disposizione 5 oggetti
possiamo scegliere in 5 modi diversi il “primo” oggetto della disposizione,
in 4 modi diversi il secondo e così via. Il coefficiente binomiale
esprime il numero di modi in cui si possono scegliere k oggetti
tra n oggetti diversi, senza tenere conto dell’ordine in cui si
scelgono. Ragionando come per il fattoriale, si capisce che il numero
di scelte possibili (tenendo conto dell’ordine) è 
; per evitare di contare più volte diversi riordinamenti degli
stessi oggetti bisogna dividere per i k! possibili riordinamenti
dei k oggetti, e si ottiene quindi
Estrazioni con ripetizione
Questo caso è
il più facile e immediato da analizzare. A ogni estrazione, infatti,
la persona i sceglie tra dieci palline che per lui sono indistinguibili,
quindi ha uguale probabilità di pescare uno qualsiasi dei dieci
numeri da 1 a 10. In questo modo, se indichiamo con Ai,j
l’evento “la persona i pesca nella seconda estrazione il numero
j” abbiamo sempre un solo caso favorevole e dieci casi possibili
qualsiasi siano i valori di i e j, quindi P(Ai,j) = 1/10
qualsiasi siano i e j. In particolare, la probabilità
che la persona i si trovi nella seconda estrazione a pescare lo
stesso numero della prima è esattamente 1/10; di conseguenza, la
probabilità che peschi due numeri diversi è 9/10.
Si noti che si può
arrivare alla stessa conclusione considerando l’insieme delle due estrazioni
compiute dalla persona i: infatti, tra le 100 coppie ordinate (1, 1),
(1, 2), …, (1, 10), (2, 1), …, (10, 10) che descrivono
tutti i possibili risultati delle due estrazioni di i, soltanto
le dieci coppie (1, 1), (2, 2), …, (10, 10) rappresentano
i casi in cui la prima e la seconda estrazione danno lo stesso risultato.
Allora abbiamo 10 casi favorevoli su 100 casi possibili e equiprobabili,
quindi ancora una volta arriviamo a concludere che la probabilità
che la persona i estragga lo stesso numero due volte di seguito
è 10/100 = 1/10.
Osserviamo adesso che
non è importante sapere quali sono le quattro persone a cui siamo
interessati: infatti, ognuna di loro si trova a estrarre il suo numero
nelle stesse condizioni di tutti gli altri (quando cioè l’urna
contiene tutte e 10 le palline). L’estrazione di ognuno è quindi
indipendente da quelle degli altri, e quindi la probabilità che
due persone scelte a caso peschino lo stesso numero due volte è
pari al prodotti delle singole probabilità. In pratica, la probabilità
che sia la persona i1 sia la persona i2
peschino due volte lo stesso numero è (1/10)(1/10) = 1/100.
Ripetendo lo stesso ragionamento per quattro persone scelte a priori si
ottiene quindi che la probabilità che tutte e quattro peschino
due volte lo stesso numero è (1/10)4 = 1/10000,
e la probabilità che inoltre tutte le altre peschino numeri diversi
alle due estrazioni è (1/10)4(9/10)6 = 96/1010.
Infine, i modi in cui
possono essere scelte quattro persone in un insieme di 10 persone sono
e quindi la probabilità che quattro persone qualsiasi
(e non più di quattro) peschino due volte lo stesso numero è
cioè pari circa all’1.12%.
Si noti che il ragionamento
appena ottenuto si può ripetere per qualsiasi numero di palline,
di partecipanti al gioco e di persone che si vuole estraggano due volte
lo stesso numero. Si otterrà che la probabilità che h
persone su m peschino due numeri uguali da 1 a n è
In particolare, grazie a questa formula, possiamo calcolare
la probabilità che almeno quattro persone peschino due volte
lo stesso numero: essa è pari alla somma delle probabilità
che esattamente h persone (con h compreso tra 4 e 10) peschino
lo stesso numero è quindi pari a
cioè pari circa all’1.28%.
Estrazioni senza ripetizione
Questo caso potrebbe
sembrare a una prima occhiata abbastanza simile al precedente. Per esempio,
la probabilità che la persona j peschi il numero i
è sempre pari a 1/10, indipendentemente dal numero e dal “turno”
della persona: per convincerci di questo fatto, consideriamo l’insieme
delle 10! possibili estrazioni. Tra tutte queste, quelle che hanno il
numero i nella posizione j sono esattamente 9! (corrispondono,
infatti, a tutti i possibili “riordinamenti” degli altri nove numeri)
e quindi la probabilità che si verifichi l’evento “la persona j
pesca il numero i” è 9!/10! = 1/10.
D’altra parte è
facile convincersi che i due casi non sono identici. Per fare un esempio,
la probabilità che esattamente nove persone peschino lo
stesso numero, in questo caso, è zero (se nove dei partecipanti
pescano due volte lo stesso numero, allora per forza, anche al decimo
“rimane” lo stesso numero dell’estrazione precedente!), mentre dalla formula
ricavata in precedenza si trova che la probabilità dello stesso
evento nel caso “con ripetizione” è 9
10-9 — piccola, ma diversa da zero.
Per calcolare le probabilità
in questo caso, allora, ragioneremo sull’insieme dei 10! risultati possibili
delle estrazioni delle 10 persone. Può sembrare che questo sistema
sia un po’ “macchinoso”, ma è tuttavia il più elementare
e semplice possibile in questo caso. Dato che non sono più ammesse
ripetizioni, infatti, il calcolo delle probabilità dei vari eventi
è notevolmente complicato dal fatto che gli eventi “la persona
j pesca il numero i” non sono più indipendenti tra
di loro (basta pensare al fatto che la probabilità che le persone
1 e 2 peschino entrambe il numero 7 alla prima estrazione è 0,
e non più 1/100 come nel caso di estrazioni con ripetizione). L’unica
proprietà su cui possiamo contare in questo caso è che gli
eventi “la persona i pesca due volte lo stesso numero” sono intercambiabili,
cioè la probabilità che k di questi eventi si verifichino
contemporaneamente dipende soltanto da k e non dai particolari
eventi considerati.
Scegliamo quindi ancora
una volta 4 persone a priori, diciamo per esempio la 1, la 2, la 3, e
la 4. Supponiamo, per fissare le idee, che la prima estrazione sia stata
(3, 6, 8, 4, 10, 2, 9, 7, 1, 5)
e chiediamoci qual è la probabilità che le
persone 1, 2, 3 e 4 (e soltanto loro) estraggano gli stessi numeri al
secondo “giro”. Si tratta in pratica di contare le estrazioni del tipo
(3, 6, 8, 4, x5, x6, x7,
x8, x9, x10) dove
, 
e così via. Anche questo conteggio è tutt’altro che facile;
il metodo che proponiamo qui di seguito non è forse il più
“elegante”, ma è senz’altro efficace e elementare.
È immediato
che ci sono esattamente 6! estrazioni i cui primi quattro numeri sono
3, 6, 8 e 4, perché esse sono esattamente tante quante i possibili
riordinamenti dei sei rimanenti numeri. Ragioniamo allora soltanto sull’insieme
di questi riordinamenti, e cerchiamo quali di questi soddisfano le nostre
condizioni. Il primo numero, per esempio, può essere scelto soltanto
in 5 modi possibili (perché vogliamo che x5 sia
diverso da 10); per il secondo, abbiamo ancora 5 possibili scelte se x5 = 2;
altrimenti, visto che vogliamo escludere la possibilità che sia
x6 = 2, abbiamo soltanto 4 scelte…
Vediamo quindi come
possiamo ragionare per contare le estrazioni “buone”, tenendo presente
che le estrazioni di sei numeri tra 1, 2, 5, 7, 9 e 10, come già
detto, sono 6!. Di queste, 5! hanno 10 come primo numero, e vanno escluse.
Altre 5! estrazioni hanno 2 come secondo numero, ma non possiamo sottrarle
tutte perchè abbiamo già sottratto le 4! che hanno 10 come
primo numero e 2 come secondo: allora dobbiamo sottrarne soltanto altre
(5! – 4!). Allo stesso modo, dobbiamo pensare che tra le 5!
estrazioni che hanno 9 come terzo numero ce ne sono 4! che hanno 10 come
primo numero e 4! che hanno 2 come secondo numero e che quindi abbiamo
già sottratto dal conto totale; considerando, però che ce
ne sono 3! che hanno sia 10 come primo numero sia 2 come secondo numero
(e che quindi rischiamo di contare due volte), capiamo che dobbiamo allora
sottrarre altre (5! – 4! – 4! + 3!) estrazioni.
Le formule appena trovate
si generalizzano ai passi successivi con lo stesso ragionamento: si ottiene
una formula (ben nota nel calcolo delle probabilità elementari)
simile allo sviluppo del “binomio di Newton”. La riassumiamo nello schema
seguente senza più spiegarne la “genesi”: delle 6! = 720
possibili estrazioni con i primi quattro numeri “bloccati”,
- 5! = 120 hanno 10 al primo posto,
- 5! – 4! = 96 hanno 2 al secondo posto e un numero
diverso da 10 al primo, - 5! – 2
4! + 3! = 78 hanno 9 al terzo posto e i primi due
diversi da (10, 2), - 5! – 3
4! + 33! – 2! = 64
hanno 7 al quarto posto e i primi tre diversi da (10, 2, 9), - 5! – 4
4! + 6
3! – 4
2! + 1! = 53 hanno 1 al quinto posto e i primi quattro
diversi da (10, 2, 9, 7), - 5! – 5
4! + 10
3! – 10
2! + 5
1! – 0! = 44 hanno 5 all’ultimo posto e i primi
5 diversi da (10, 2, 9, 7, 1).
Così le permutazioni “buone” sono 720 – 120 – 96 – 78 – 64 – 53 – 44 = 265.
Vale anche la pena di notare che tale numero è il risultato della
formula
6! – 6
5! + 15
4! – 20
3! + 15
2! – 6
1! + 0!
del tutto analoga alle formule con cui abbiamo trattato
nei casi “parziali”. In effetti, saremmo potuti arrivare allo stesso risultato
con un ragionamento di questo tipo: ci sono 6
5! estrazioni che hanno almeno un numero coincidente con quella di riferimento,
ma tra queste stiamo contando 
volte le estrazioni che hanno due numeri coincidenti con quella
di riferimento…
Infine, considerando
il numero di modi in cui possiamo scegliere quattro persone su dieci,
concludiamo che in questo caso la probabilità che esattamente
quattro persone peschino due volte lo stesso numero è
cioè pari circa all’1.53%.
Il conteggio totale
delle permutazioni “favorevoli” è precisamente l’applicazione della
“formula delle probabilità di eventi intercambiabili” di cui abbiamo
parlato all’inizio (e di cui non enunciamo la forma generale in questa
sede, rimandando il lettore interessato a un qualsiasi libro di calcolo
delle probabilità elementari).
Anche in questo caso,
ragionando in modo analogo a quanto fatto nel caso “con ripetizione”,
possiamo arrivare al calcolo della probabilità che almeno
quattro persone peschino due volte lo stesso numero sommando le probabilità
che esattamente k persone (con k = 4, 5, …, 10) peschino
due volte lo stesso numero. Lasciando i dettagli al lettore, diciamo semplicemente
che le estrazioni favorevoli in questo caso sono
210
6! – 1008
5! + 2100
4! – 2400
3! + 1575
2! – 560
1! + 84
0! = 68914,
e quindi la probabilità che almeno quattro persone
peschino due volte lo stesso numero è 68914 / 10! ~ 0.0190,
cioè pari circa all’1.90%.