A Georg Cantor,
matematico russo (Pietroburgo, 1845), dobbiamo i più importanti
contributi nel campo delle serie trigonometriche, sui numeri reali come
insieme non enumerabile, sulla teoria delle dimensioni e, soprattutto,
alcuni fondamentali risultati sulla teoria degli insiemi. Cantor, per
primo, ha formulato la prima definizione rigorosa di insieme infinito,
assieme alla teoria dei numeri transfiniti.
Di particolare
interesse è il risultato sull’esistenza di una gerarchia di
infiniti, ovvero che l’infinito, inteso come quantità non finita,
non è univocamente determinato. In altri termini, secondo Cantor,
esistono insiemi infiniti più numerosi di altri. Ad esempio, entrambi
gli insiemi dei numeri reali e dei numeri naturali sono infiniti, ma i
reali sono “più infiniti” dei naturali, ovvero l’infinito
dei reali si colloca nella scala gerarchica degli infiniti più
in alto rispetto all’infinito dei naturali. In questo senso, l’insieme
dei numeri reali è “più potente” di quello dei
naturali.
Ma andiamo con ordine.
L’idea di
“contare l’infinito” nasce dalla necessità di stabilire
un modello che determini la cardinalità degli elementi di un insieme
infinito. Nella teoria degli insiemi si indica come cardinalità
di un insieme il numero degli elementi ad esso appartenenti. Contare
insiemi finiti e fare paragoni di grandezza è un’operazione che
coinvolge essenzialmente la cardinalità degli insiemi. In questo
senso, una squadra di pallavolo è più piccola (vista come
insieme di uomini) di una di calcio perché la cardinalità
di questi due insiemi è pari a 6 ed 11, rispettivamente.
Ma che cosa
vuol dire, formalmente, determinare la cardinalità di un insieme
?
Sia {n}
= 0,1,2,3, …, n-1, l’insieme dei primi n numeri naturali.
In teoria
degli insiemi si dice che un insieme A ha cardinalità (indicata
con |A|) n se esiste una corrispondenza biunivoca tra gli
elementi di A e gli elementi di {n}; ovvero quando è
possibile mappare, mediante una funzione (più propriamente, applicazione)
scritta appositamente, ogni elemento di A in uno ed un solo elemento
di {n}.
Più
formalmente:
Ricordiamo
brevemente che una applicazione o funzione tra due insiemi
è un oggetto f che mappa elementi di un insieme A in un
altro insieme B, e si indica con f : A -> B
A è detto Dominio e B è detto Codominio
della funzione f.
L’insieme degli elementi distinti in B ottenuti applicando f
ad A è detto “immagine di A secondo f” e si indica
con
f(A) :=
Im(f) := {b in B tali che b = f(a) per ogni a in A}
f
è detta:
- iniettiva
se f(a) = f(b) <=> a = b per ogni a, b in A - suriettiva
se f(A) = B - biettiva
se f è suriettiva ed iniettiva
Se f è
biettiva si dice anche “isomorfismo tra A e B” o “corrispondenza
uno a uno“, una funzione iniettiva non mappa due volte un elemento
di A in uno di B ed una suriettiva mappa invece tutto A
in B.
La grande
intuizione di Cantor fu di contare la cardinalità degli insiemi
stabilendo classi di applicazioni tra i loro elementi. In questo senso,
quando affermiamo che due insiemi hanno la stessa cardinalità,
diciamo in realtà che esiste una corrispondenza biunivoca tra di
essi. Se invece la cardinalità di un insieme B è
maggiore di un altro insieme A, allora la funzione che mappa A
in B è iniettiva.
Estendendo
questo principio agli insiemi infiniti, si ottengono risultati sorprendenti.
Un insieme
A infinito è detto infinito enumerabile se ha la
stessa cardinalità di N, l’insieme dei numeri naturali.
Quindi, se
esiste una biiezione tra A ed N, allora A è
un insieme infinito enumerabile ed ha una cardinalità dello stesso
ordine di infinito di N.
Un primo
risultato sorprendente dell’applicazione di questa definizione è
il seguente:
i
numeri pari/dispari sono tanti quanti i numeri naturali
Anche se
apparentemente assurdo, ciò significa che gli insiemi {0,1,2,3,4
… ,n } (i numeri naturali), {0,2,4,6, …, 2n} (i numeri naturali
pari) e {1,3,5,7, …, 2n+1} (i numeri naturali dispari) hanno lo
stesso numero di elementi.
La biiezione
che mappa tutti i numeri naturali in tutti i numeri naturali pari è
proprio f(n)=2n, mentre quella dei numeri dispari è g(n)=2n+1.
Si dimostra che f e g sono biunivoche per induzione.
Ma Cantor
si è spinto oltre. Ha dimostrato, ad esempio, che l’insieme NxN
delle coppie di numeri naturali è enumerabile. Sempre a Cantor
si deve la dimostrazione della non enumerabilità dei numeri reali.
Un esempio
di insieme non enumerabile è proprio quello dei numeri reali. Applicando
le definizioni esposte si osserva, infatti, che una funzione che mappi
N in R può essere, al massimo iniettiva (una iniezione,
appunto).
Qualitativamente,
una funzione 
può,
al più, mappare tutti gli elementi interi nei soli elementi interi
di R, assumendo carattere di iniettività. Ma, come visto,
ciò implica che |R| > |N| e, quindi, l’insieme
dei reali è “più potente” di quello dei naturali.
Cantor ha
identificato la cardinalità dell’insieme dei numeri naturali con
la prima lettera dell’alfabeto ebraico (aleph) con zero come pedice:
.
è il primo dei numeri transfiniti. Applicando la stessa operazione
di accrescimento dell’insieme {n}, che permette di definire {n+1}
come aggiunta del naturale n all’insieme {n}, ovvero:
è
possibile definire +1
allo stesso modo:
e l’insieme
degli elementi ottenuti reiterando questo processo di unione è
detto insieme dei numeri transfiniti.
Infine, si
ricordi sempre di applicare le definizioni fornite per determinare confronti
tra cardinalità di insiemi. Quando si trattano insiemi infiniti,
si capita spesso in situazioni del tutto contro-intuitive: infatti, al
pari dei numeri naturali dispari e pari, gli insiemi
e +1, pur
essendo diversi, hanno la stessa cardinalità.