La funzione da studiare era la seguente:
Quest’anno non ho
avuto modo di seguire lo sviluppo dei compiti di maturità e, vedendo il
quesito, le confesso di essere rimasto perplesso. Non si tratta di un
quesito difficile ma, dato il contesto in cui è stato posto, mi fa pensare
più ad uno sgambetto agli studenti, che ad una occasione di verifica e
confronto delle conoscenze dei candidati.
Per quanto riguarda
il quesito, la funzione cercata deve essere sicuramente continua e derivabile
nell’intervallo [0,2], con derivata prima non necessariamente continua,
come vedremo in seguito.
Ciò che stiamo cercando
è una funzione F(x) tale che
[1]
essendo la f(x) integrabile per ipotesi.
Dalla ipotesi, per
definizione di integrale, si ha
[2]
e
[3]
da cui si ottiene,
sottraendo la [3] dalla [2]
[4]
Ricordando la definizione
di funzione crescente/decrescente
f(x) è crescente sse f(x1)
³ f(x0)
per x1 ³ x0
[5]
f(x) è decrescente sse f(x1)
£ f(x0)
per x1 ³ x0 [6]
questi risultati ci
indicano altri indizi sulla funzione cercata:
1. F(x) è crescente in [0,1], perché F(1) –
F(0) > 0, ovvero F(1) >
F(0) ed 1 > 0 (per la [5])
2. F(x) è decrescente in [1,2], perché F(2)-F(1)
< 0, ovvero F(1) > F(2),
e 2 > 1 (per la [6])
e F(x) ha un massimo locale in 1. Riscrivendo le [2] e [3], otteniamo
le relazioni che definiscono la famiglia di funzioni cercate, ovvero funzioni
per cui valga:
3.
F(1) = 2 + F(0)
4. F(2)=-5 + F(0)
Proviamo a scrivere
l’espressione di una funzione che soddisfi i 4 punti precedenti.
Definiamo innanzitutto
la funzione
G(x)=F(x)-F(0) [7]
e calcoliamone la
derivata prima
g(x)=G'(x)=F'(x)-F(0)’=f(x) [8]
perché F(0) è una costante e la derivata di una
funzione costante è nulla.
La [8] suggerisce
che la famiglia di funzioni cercate è definita a meno
di una costante, F(0). Essendo
g(x)=f(x), ovvero le funzioni derivate
sono identiche, possiamo ricercare la soluzione per la funzione G(x), che consente di rimuovere la costante
F(0), infatti, sostituendo le
[2] e [3] nella [7], otteniamo :
G(1) = F(1)-F(0) =2 [9]
G(2) = F(2)-F(0) = -5
[10]
G(0) = F(0)-F(0) = 0 [11]
La funzione G(x) passa per i punti (0,0), (1,2) e (2,
-5), la funzione più semplice che soddisfi queste condizioni è la spezzata
di Fig. 1:
Fig. 1: Una delle funzioni nella famiglia cercata
definita dall’unione
delle rette passanti per i tre punti (0,0), (1,2) e (2, -5),:
[12]
Infine, verifichiamo
che la funzione trovata soddisfi le ipotesi (si osservi che questo passaggio
è inutile, in quanto l’ipotesi è soddisfatta per le [8], [9] e [10]),
deriviamo:
[13]
e ricalcoliamo gli
integrali dell’ipotesi:
e
