Le conseguenze del teorema di Godel per l’epistemologia della
matematica ci sono, ma sono limitate e meno estese di quanto si suole in genere
affermare, soprattutto negli scritti divulgativi. Il teorema dice che gli
usuali sistemi formali della matematica che contengano una minima parte dell’aritmetica
sono incompleti, nel senso che non possono dimostrare tutte le verita’ esprimibili
nel linguaggio della teoria.
E’ dunque in gioco l’incompletezza, che riguarda l’insieme di tutte le possibili
verita’, da quelle piu’ stupide e superficiali a quelle piu’ profonde. I matematici
non sono MAI stati interessati a TUTTE le (infinite) verita’, ma solo ad un
piccolo numero (finito) di esse, significative da qualche punto di vista particolare.
Il teorema di Godel non dice nulla sulla indimostrabilita’ o indecidibilita’
di queste singole affermazioni, in particolare sui principali problemi aperti
della matematica, e parla solo dell’indecidibilita’ della MAGGIOR PARTE delle
affermazioni. Il che non significa affatto che quelle interessanti in teoria
o in pratica non possano poi risultare decidibili in un senso o nell’altro:
ad esempio, per qualche tempo si e’ pensato che il cosiddetto teorema di Fermat
potesse essere vero ma indimostrabile, e poi lo si e’ invece dimostrato. In
sintesi, il teorema di Godel riguarda QUANTO si possa sapere della verita’
matematica (e la risposta e’ POCO), ma non dice COSA (non) si possa sapere.
Le limitazioni del teorema di Godel non sono comunque piu’ devastanti di quelle
di Cantor o di Turing, che hanno rispettivamente dimostrato che quasi tutti i
numeri reali non si possono definire, e quasi tutte le funzioni di
numeri interi non si possono calcolare. Il che non impedisce che noi continuiamo
ad interessarci ai pochi numeri reali definibili (fra i quali ci sono, per
forza di cose, tutti quelli noti, dai razionali a pi greco), o delle poche
funzioni calcolabili (fra le quali ci sono tutte quelle che possono calcolare i
computer, e dunque tutte quelle di interesse per
l’informatica teorica o pratica).
In ogni caso, voler estendere il teorema di Godel ad altri ambiti che non sono
i suoi propri e’ pericoloso, e puo’ generare fraintendimenti. Tanto per cominciare,
non lo si puo’ neppure estendere a tutti i sistemi matematici:
ad esempio, la teoria elementare della geometria e’ completa, come ha dimostrato
Tarski, e dunque le limitazioni di Godel richiedono in modo essenziale l’aritmetica.
Non parliamo poi delle estensioni ad ambiti che non sono neppure strettamente
matematici, dalla fisica alla politica. La mia opinione e’ che in questi campi
sia meglio lasciar perdere i teoremi di Godel, e considerare limitazioni intrinseche,
dal principio di indeterminazione di Heisenberg e il teorema di Bell nel primo
caso, ai teoremi di Arrow e Sen nel secondo (sui quali credo ci siano dei
miei saggi nella pagina web curata da Sirtoli).
Cio’ detto, e’ innegabile che tutti questi risultati dimostrino che ci sono limiti
alla conoscenza, e che la “verita’” si possa soltanto approssimare in
maniera estremamente ristretta. Ma questo puo’ turbare soltanto coloro che
credevano che si potesse sapere tutto. Per me l’interesse dei teoremi limitativi
non sta nel fatto che essi mostrino limiti alla conoscenza matematica
dell’universo, ma che lo dimostrino in maniera matematica! In altre
parole, il pensiero formale sara’ pure limitato, ma fra le sue limitazioni non
c’e’ quella di non sapere di essere limitato! Conoscere i propri limiti, non e’
forse l’espressione piu’ alta della consapevolezza?
Piergiorgio Odifreddi, Dipartimento
di Matematica, Torino
e-mail: piergior@dm.unito.it