Risposta: Io non so cosa si intende con “funzione d’appoggio”,
comunque ti descrivo una dimostrazione del teorema di Lagrange. Prima
di tutto però cito il teorema di Rolle.
un intervallo
limitato e 
una funzione
derivabile con derivata continua. Se 
, allora esiste
un punto 
tale che 
.
Questo teorema afferma che se si ha una funzione
(continua = senza salti, derivabile =senza spigoli), allora deve esistere
un punto 
interno all’intervallo
tale che la
sua tangente è orizzontale. Per farti un’idea basta che guardi la figura
riportata sotto.
La generalizzazionefatta da Lagrange nasce dall’osservare che avere
un punto con derivata nulla all’interno dell’intervallo è conseguenza
del fatto che la funzione ha la stessa altezza nei punti estremi e quindi
ci si ritrova con un punto in cui la tangente è parallela alla congiungente
dei due punti estremi. Se il valore della funzione in quei punti non
è più uguale, invece di avere un punto in cui la tangente è orizzontale
si avrà un punto in cui la tangente è parallela alla congiungente dei
due punti estremi ossia un punto in cui la derivata vale
Teorema (Lagrange) Sia 
un intervallo
limitato e 
una funzione
derivabile con derivata continua. Allora esiste un punto 
tale che
.
Dimostrazione
L’idea è di usare il teorema di Rolle:definisco quindi una funzione
, fatta in modo
che sottratta alla 
mi dia una funzione
con estremi
alla stessa altezza, non faccio altro che raddrizzare la 
(vedere le due
figure sopra).Come 
prendo la retta
che congiunge i due punti della funzione agli estremi dell’intervallo
e di conseguenza
.
Risulta immediato verificare che 
e quindi posso
applicare il teorema di Rolle alla funzione 
e ottengo che
esiste un punto 
tale che 
, ma essendo
trovo che per 
la relazione
precedente diventa
da cui si ottiene la tesi
.
c.v.d.