Dati due numeri reali positivi a , b e a
1,
con il termine “logaritmo in base a di b”,
generalmente denotato con il simbolo 
,
si indica quel numero l a cui si deve elevare la base a
per ottenere la base b, in altri termini deve risultare
.
Così ad esempio abbiamo che
,
,
.
Osserviamo che, in generale, 
è
un numero decimale del tipo c,m dove c è la parte
intera detta caratteristica ed m è la parte decimale
detta mantissa. Il problema del calcolo del logaritmo consiste
nel calcolo della sua caratteristica e della sua mantissa.
Come si evince dagli esempi precedenti, il logaritmo di un numero b
in una data base a, può essere un numero positivo o negativo,
un intero (nel qual caso la mantissa vale 0) o razionale (nel qual caso
la mantissa o è formata da un numero finito di cifre, oppure esse
si ripetono in modo periodico).
Ma nella grande maggioraza dei casi, come ad esempio log25 (quando
la base è 10 solitamente viene omessa) i logaritmi sono numeri
irrazionali, cioè la mantissa è formata da un numero illimitato
di cifre, che non hanno un andamento periodico. In tutti questi casi è
impossibile conoscere tutte le cifre decimali che compongono il logaritmo.
Pertanto, in generale, il calcolo di un logaritmo non può che
essere approssimato, e quindi non può esistere nessun procedimento
che, facendo uso delle quattro operazioni elementari, dia esattamente
come risultato il logaritmo che si vuole calcolare.
Vediamo adesso come si può calcolare in modo approssimato un logaritmo;
a tal fine ci serviremo della formula del passaggio di base:
dove a indica nuova base, c la vecchia e b il numero
del quale si vuole calcolare il logaritmo. Utilizziiamo questa formula
per trasformare un logaritmo in base qualsiasi in logaritmi decimali,
ottenendo così:
che, come possiamo notare, è stato ottenuto mediante un’operazione
elementare, ossia la divisione dei due numeri log b e log a
. Tutto sta adesso a calcolare caratteristica e mantissa dei logaritmi
decimali.
Per quanto riguarda la caratteristica, si può osservare che:
-
se x >1 e se a sua parte intera è composta da n
cifre allora risulta
da cui, tenendo presente che i logaritmi con base maggiore di 1 “conservano
le disuguaglianze”, otteniamo
cioé
.
Ossia il logaritmo è compreso tra n-1 ed n, e
quindi lo sarà anche la sua caratteristica. -
se 0<x<1 e se il numero di zeri che precedono la prima
cifra significativa è n (contando anche lo zero prima della
virgola) allora
,
da cui
cioè
.
Quindi in questo caso la caratteristica è un numero intero
negativo il cui valore assoluto è uguale al numero degli zeri
che precedono la prima cifra significativa.
Resta adesso da trovare la mantissa. Essa normalmente viene letta su
apposite tabelle, dette tavole logaritmiche . Un modo elementare
per calcolare queste tavole si basa sulla seguente osservazione:
la mantissa non dipende dal posto occupato dalla virgola
nel numero considerato
ad esempio i numeri 35; 3,5; 0,35; 35000 hanno tutti la medesima mantissa
e quindi in pratica il logaritmo di 0,35 viene a coincidere con le mantisse
dei logaritmi di 3,5; di 35000 etc, etc
In base a questo fatto, si può pensare di tabellare i logaritmi
di un’elevata quantità di numeri compresi tra 0 e 1, per poi usarli
come mantissa per altri logaritmi. Per fare ciò consideriamo due
progressioni, di cui la prima è geometrica di ragione 
,
e la seconda è aritmetica di ragione –r
…..-nr,…….-2r, -r , 0,
e da come si può notare, i suoi termini sono i logaritmi decimali
della successione geometrica. Scegliendo r molto piccolo, due termini
successivi della prima progressione differiscono di pochissimo tra loro,
e si può trovare così il logaritmo di un qualsiasi numero
con uno scarto molto piccolo. Se scegliamo r=0,01 facendo variare
n da 500 a 0 si ottiene la seguente tabella:
.
Dalla tabella leggiamo che log 0,31622 =-0,5, log 0,50118=-0,3 etc etc.
Chiaramente la tabella qui sopra non è completa, se fosse stata
completa avremmo trovato nella 2° colonna una successione di numeri
molto vicini tra loro e nella 3° colonna i rispettivi logaritmi; se
scegliamo n più grande otteniamo i logaritmi di numeri più
prossimi a zero, scegliendo r più piccolo otteniamo i logaritmi
di un numero maggiore di valori.
Esistono inoltre dei metodi numerici che permettono di calcolare i logaritmi,
ad esempio si può ricorrere allo sviluppo in serie di potenze,
che però richiede una trattazione non adatta in questa sede. A
titolo di esempio, scriviamo lo sviluppo in serie di potenze per i logaritmi
neperiani, caratterizzati dal fatto di avere come base il numero di Nepero
dove 
. Scegliendo x=1 si ha:
Questa è una somma di infiniti termini (detta serie numerica) e
pertanto, per ragioni di ordine pratico, siamo costretti a troncare la
sommatoria da un certo punto in poi; più è numeroso il numero
dei termini che sommiamo, tanto più ci avviciniamo al vero valore
del logaritmo.