Il metodo dei minimi quadrati si applica nella branca
delle scienze economiche detta “econometria” per valutare la tendenza
dei dati nel tempo.
Si supponga di avere un’azienda che abbia fatturato 9,
11.2, 9.8, 11.8, e 14 miliardi negli ultimi 5 anni; col metodo dei minimi
quadrati è possibile prevedere la tendenza della fatturazione per gli
anni successivi.
Il risultato di un’applicazione del metodo è visibile
in figura 1,
Fig.1
Analisi di tendenza con metodo dei mimini quadrati e curva lineare
ove in ascissa sono riportati gli anni, in ordinata il
fatturato in miliardi di lire.
Il grafico in blu indica i punti associati ai dati di
fatturazione, la linea in rosso è la curva
di regressione lineare, risultato dell’applicazione
del metodo dei minimi quadrati.
Il metodo dei minimi quadrati consente di approssimare
mediante una serie di funzioni una serie di dati con errore quadratico
minimo; quando la serie di funzioni utilizzata impiega polinomi di grado
non superiore al primo si afferma che la curva di regressione è lineare.
Nell’articolo presente si affronterà il metodo di costruzione della curva
di regressione avente come base dello spazio di funzioni l’insieme {1, x}, tuttavia il metodo dei minimi quadrati
consente di costruire una curva di regressione per combinazione lineare
di uno spazio di funzioni qualsiasi (l’autore è a disposizione per ulteriori
informazioni in merito).
E’ possibile prevedere la tendenza del fatturato per
l’anno successivo valutando il proseguimento della retta di regressione.
Nel caso specifico, è possibile attendersi il superamento della quota
di fatturato 15 miliardi per l’anno duemila.
Come è noto, per due punti passa una ed una sola retta.
Aggiungendo dei punti successivi, a meno di una coincidenza assolutamente
fortuita (e, tutto sommato, di scarso interesse), non sarebbe più possibile
determinare la retta che passa per tutti i punti ma quella che ad essi
“si avvicina il più possibile”.
In termini più formali, avendo a disposizione la serie
di n punti
vogliamo determinare la retta y=mx+q tale che la somma degli scarti quadratici dai punti della serie
sia minima.
Lo scarto quadratico
è definito pari a (yi-y(xi))2,
ovvero la differenza tra il valore
reale della serie e quello stimato dalla retta di regressione.
Il residuo
è definito come la somma degli scarti quadratici medi:
[1]
ed y(xi)
= mxi+q è il valore stimato dalla retta di regressione
lineare nel punto xi.
Applicando alcuni risultati noti dell’analisi matematica,
si ottiene che la retta per cui il residuo è minimo è data dal minimo
locale della equazione di residuo [1] rispetto alle due variabili m e q.
La tecnica di ricerca di un minimo locale implica la
risoluzione del sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate parziali della [1]:
[2]
Essendo le tecniche di risoluzione della [2] ed il calcolo
del minimo della [1] materia da quinta superiore e da corso di Analisi
II all’Università, riportiamo qui direttamente la souzione della [2];
un sistema lineare di due equazioni e due incognite, nelle variabili m
e q:
[3]
si osservi che le uniche variabili sono m e q, mentre tutti gli
altri termini sono numeri calcolabili dai dati in ingresso, ovvero:
n:
numero dei dati in ingresso (nel nostro caso 5)
: somma
delle ascisse dei punti noti (1995+1996+1997+1998+1999)
:
somma dei quadrati delle ascisse dei punti noti (19952+19962+19972+19982+19992)
:somma
delle ordinate dei punti noti (9+11.2+9.8 +11.8+14)
:somma
dei prodotti delle ascisse per le ordinate dei punti noti (1995×9+1996×11.2+1997×9.8+1998×11.8+1999×14)
La soluzione del sistema di equazioni [3] è, quindi:
[4]
Sostituendo alla [4] i valori del caso in esame siamo
in grado di scrivere la retta di regressione
y = mx+q
e valutare la proiezione di tendenza del fatturato per
l’anno 2000 con
y(2000) = 2000m+q
[5]
il calcolo esplicito della [4] e della [5] è lasciato
per esercizio ai lettori.
Dall’autore, un cordiale augurio di Buon Millennio.