Le rette parallele
Consideriamo la retta r e le due rette a
e b dello stesso piano perpendicolari ad r, rispettivamente, nei
punti (distinti) A e B. Osserviamo che le rette a e b
non hanno nessun punto in comune, perché se si incontrassero in un punto,
per questo passerebbero due perpendicolari distinte alla retta r,
il che non è possibile (per il teorema: Per un punto si può condurre una
ed una sola retta perpendicolare ad una retta data). Si dice che a
e b sono parallele.
Definizione: Due
rette di uno stesso piano sono parallele fra loro quando non hanno alcun
punto in comune.
Sappiamo che nel IV° secolo a.C. Euclide organizza le
precedenti conoscenze geometriche in un sistema completo, gli Elementi.
Gli Elementi si aprono con la definizione di termini,
assiomi e postulati.
Gli assiomi e i postulati sono indicati
da Euclide come affermazioni di partenza da cui
far discendere tutte le altre con un procedimento dimostrativo.
I termini o definizioni sono delle spiegazioni
degli oggetti di cui si sta parlando.
Tra gli enti fondamentali su cui Euclide costruisce la
geometria ci sono il concetto di punto (punto è ciò che non ha parti),
di linea (linea è lunghezza senza larghezza), di superficie (superficie
è ciò che soltanto lunghezza e larghezza) e di parallele (Paralleli
sono i segmenti di un piano che, prolungati indefinitamente da tutte e
due le parti, in nessuna si esse di incontrano).
Premesso ciò Euclide enuncia cinque postulati. Particolarmente
importante è il seguente:
Postulato “delle parallele”:
Per un punto non giacente su una retta si può condurre una
ed una sola parallela alla retta data.
Da questo postulato deriva che:
Due rette parallele ad una terza
sono parallele tra loro.
Dimostrazione
Infatti se le rette a e b, parallele alla stessa retta
c, si incontrassero in un punto P, per tale punto passerebbero due rette
distinte parallele a c, il che non è ammissibile perché contrasta con
il postulato delle parallele.
