Per
dimostrare che il prodotto dei limiti di due funzioni reali di variabile
reale è pari al prodotto dei limiti delle singole funzioni occorre
fare un passo indietro e dimostrare il teorema analogo per le successioni.
Siano due successioni reali:
a1, a2,
.., an
e
b1, b2,
.., bn
e si indichino tali successioni con {an}
e {bn}, rispettivamente. Si supponga inoltre che le successioni
siano convergenti, ovvero che tendano a due valori finiti a
e b, rispettivamente:
, 
L’ipotesi di convergenza delle successioni
implica la validità del seguente
Teorema
Ogni successione convergente è limitata [1]
ovvero, se {an} è una successione
convergente, per cui vale 
,
allora ogni suo elemento deve essere finito e cioè esiste un numero
finito arbitrariamente grande A per cui
ovvero A è il maggiorante di
tutti gli elementi della successione {an}; quando ciò
accade la successione è detta limitata.
A questo punto possiamo dimostrare il seguente
Teorema
Siano {an} e {bn}
due successioni convergenti, allora
Osservazione:
l’enunciato del teorema è più
vasto, ed estende questa proprietà anche alla somma, rapporto e
valore assoluto di successioni.
Dimostrazione:
Il teorema [1] assicura la limitatezza di entrambe
le successioni {an} e {bn}, in altri termini esistono
due numeri finiti A e B che maggiorano le due successioni,
rispettivamente. Possiamo quindi scegliere un terzo numero M che
sia maggiore di A e di B e che maggiori, quindi, entrambe
le successioni.
Per la definizione di limite, la convergenza
di una successione {an} implica che
per n arbitrariamente grande ed e
piccolo a piacere; vogliamo quindi provare la convergenza del prodotto
delle successioni, ovvero dobbiamo arrivare a dimostrare che
ovvero il modulo della differenza tra il prodotto
delle successioni ed il prodotto dei loro limiti sia minore di un valore
e , piccolo a piacere.
Aggiungiamo e sottraiamo il termine anb
:
fattorizziamo ed applichiamo la disuguaglianza
triangolare del modulo (
)
applichiamo la proprietà di limitatezza
delle successioni
[2]
ma, essendo le successioni {an}
e {bn} convergenti, ovvero
,
applichiamo alla [2] ed otteniamo
da cui segue la tesi, perché il termine
2Me è piccolo a piacere.
ª
Dimostrato il teorema per le successioni, il
passaggio ai limiti di funzione è estremamente semplice:
Teorema
Siano 
funzioni
reali di variabile reale per cui si abbia:
,
,
allora
Osservazione:
l’enunciato del teorema è più
vasto, ed estende questa proprietà anche alla somma, rapporto e
valore assoluto di funzioni.
Dimostrazione:
Si prenda una successione qualsiasi {an}
che converga ad x0, dalle ipotesi del teorema segue
che
,
ma, dal teorema precedente si deduce che
e, dalla convergenza della successione {an}
ad x0, segue la tesi.