Il lettore non sbaglia.
Nel senso che non
potrebbe fare di meglio: il lancio di moneta è un evento
della classe degli eventi detti privi di memoria
come il lancio dei dadi e l’estrazione del lotto.
Tali eventi non dipendono dalla storia passata e, quindi,
al giocatore è tanto vantaggioso puntare sull’una
quanto sull’altra evenienza.
Nel caso specifico del
lancio di moneta, anche dopo mille e più volte che esce
la “testa” non mi sognerei di dissuadere un
giocatore dal puntare “croce” perché non avrei
alcun elemento per farlo, anche se, sicuramente, non
potrei danneggiarlo per via dell’equiprobabilità
dei due eventi.
La probabilità che un
evento accada, utilizzando un dispositivo generatore
quale un dado, una moneta o un urna con palline è
essenzialmente legata alle caratteristiche meccaniche del
mezzo.
Si supponga di essere
nel 1700 e di aver costruito un dado perfettamente
levigato, bilanciato, di densità omogenea e che
garantisca una probabilità pari esattamente a 1/6 di
cadere su ogni faccia.
Supponiamo altresì che
l’ipotesi di mancanza di memoria sia falsa, ovvero
che dopo una certa serie di “assenze” (o
mancata uscita di un numero su una delle facce) un numero
acquisisca effettivamente maggior probabilità di uscire.
Il nostro improbabile
“dado alchemico” dovrebbe quindi acquisire la
memoria degli eventi passati e modificare il proprio
comportamento in funzione della “storia” dei
lanci. Ciò significa che, da qualche parte, tramite un
processo di apprendimento meccanico, chimico,
elettromagnetico o mistico il dado debba
“registrare” la storia passata, per modificare
di conseguenza il proprio comportamento.
Se così fosse, oggi
avremmo a disposizione un dado tricentenario la cui
“esperienza” passata ne ha modificato il
comportamento, sbilanciando le probabilità originali di
ogni faccia. Un dado dotato di memoria, di un processo di
apprendimento e di un supporto di registrazione degli
eventi: un “dado intelligente” (con chissà
quali terribili “effetti collaterali”).
Ovviamente, tutto ciò
non è possibile (senza contare che sarebbe possibile
viziare un dado semplicemente coricandolo per mille volte
su una faccia). In altri termini dadi, monete, urne e
palline non sono dotati di un supporto che mantenga la
memoria della storia passata e, quindi, generano
eventi equiprobabili.
In realtà la precedente
affermazione e vera solo se il mezzo generatore
dell’evento presenta caratteristiche meccaniche
ideali (indeformabilità, inalterabilità, ecc…).
Nel caso reale, il dado si altera col tempo e presenta
dei vizi che rendono più probabili alcuni eventi
piuttosto che altri. In questo caso, è addirittura
raccomandabile giocare gli eventi che si sono presentati
con frequenza maggiore.
Invito il lettore a fare
un esperimento:
- Si lanci 100 volte
una moneta e si annoti la serie di
“testa” e “croce” prodotta - Si conti il numero
di “testa” - Si conti il numero
di “croce” - Si conti il numero
di volte che appare “testa” in sequenza
subito dopo “croce”
In calcolo delle
probabilità la probabilità di un evento è definita
come il numero di volte che questi si è verificato
diviso il numero totale di eventi. Pertanto, volendo
misurare la probabilità degli eventi in base alla
sequenza di lanci effettuati diremo che:
- P(testa) =
#testa/100 (la probabilità che sia uscito
“testa” è stata pari al numero di
volte che è uscito testa diviso per il numero di
lanci) - P(croce) =
#croce/100 (la probabilità che sia uscito
“croce” è stata pari al numero di
volte che è uscito testa diviso per il numero di
lanci) - P(testa, croce)
= #(testa, croce)/100 (la probabilità che sia
uscito “testa” dopo “croce”
è stata pari al numero di volte che è uscita la
coppia “testa” e “croce”
diviso per il numero di lanci)
La notazione P(A|B)
si legge “probabilità dell’evento A dato
che si è verificato l’evento B” ed è
definita probabilità condizionata di A dato B.
In calcolo delle
probablità, due eventi si dicono indipendenti, se
la loro probabilità congiunta P(A,B) (ovvero
la probabilità che si verifichino contemporaneamente) è
pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi,
ovvero:
A, B indipendenti
P(A,B) =
P(A)P(B)
Sia A e B sono eventi
dipendenti, la probabilità congiunta viene calcolata
invece come segue:
P(A,B)
= P(A|B)P(B)
ovvero, se A e B sono
eventi indipendenti, allora la probabilità condizionata
di A dato B è pari alla probabilità di A (assenza di
condizionamento di A da B):
P(A|B)=P(A)
Con i dati ottenuti
dalla serie di lanci, si calcoli ora la probabilità
condizionata
P(testa|croce)
= P(testa, croce) /P(croce)
e si compari il
risultato ottenuto con P(testa).