Prima di rispondere a questa domanda è necessario dare alcune precisazioni
preliminari.
Si chiama curva piana il luogo geometrico dei punti P del piano le cui
coordinate soddisfano ad un’equazione del tipo f(x,y)=0, (questa
è detta equazione implicita dalla curva), dove f è una funzione
definita in una certa regione del piano (dominio) ed ivi continua con
le sue derivate parziali.
Data una funzione g(x), definita in intervallo dell’asse reale 
, ed in esso continua con
la sua derivata prima, l’insieme C dei punti del piano, formato
dai punti del tipo (x,y), avendo posto y=g(x), è una particolare
curva del piano detta “grafico della funzione g”, ed è rappresentata
da dall’equazione implicita f(x,y)=g(x)-y=0 ,
Si chiama retta tangente ad una curva C in un suo punto P(x0,y0),
la retta del piano avente equazione
Ax+By+C=0 con A, B,C dati da:
.
Nel caso di funzione nella sola variabile reale g(x), eseguendo
i calcoli si trova che la tangente al grafico della funzione nel punto
di coordinate (x0,,g(x0)), ha equazione y=
g’(x0)x+y0+g’(x0)xo; in
quest’equazione g’(x0) rappresenta il coefficiente angolare
di tale retta.
Come si vede, per una generica curva del piano (e più in generale, anche
dello spazio), il concetto di retta tangente è strettamente legato, proprio
per definizione al calcolo differenziale.
Tuttavia esiste un particolare tipo di curve del piano per le quali è
possibile definire e calcolare la retta tangente, senza far uso del calcolo
differenziale. Queste curve prendono il nome di curve algebriche; un
esempio notevole di queste è fornito dalle coniche (ellissi, iperbole,
ecc..). Si chiama curva algebrica d’ordine n una curva Cn
del piano in cui f(x,y) è un polinomio di grado complessivo pari a n;
ad esempio la curva 6x4y2+5x3y3-10x2y3+2xy-5y+33=0
è una curva algebrica d’ordine 6 (è il numero più grande che si ottiene
sommando gli esponenti dei singoli monomi 4+2=6; 3+3=6; 2+3=5; 1+1=2 ;
1; 0). Una conica è una curva algebrica d’ordine 2.
Preso un punto P0 sulla cura Cn,
consideriamo il fascio di rette di centro P0, tutte
le retta di questo fascio ovviamente intersecano Cn
nel punto P0, ma fra di esse ve né una in particolare
(indicandola con r: ax+by+c=0), che “interseca Cn
nel punto P0 due volte”, cioè, il punto P0(x0,,y0)
è soluzione doppia del sistema:
questa retta prende il nome di retta tangente in P0.
Vediamo adesso come si calcola la tangente. Supponiamo dapprima che la
curva passi per l’origine, ossia f(0,0)=0, allora in tal caso l’equazione
della retta tangente, nell’origine, si ottiene eguagliando a zero i termini
di 1° grado, ad esempio data la curva C4: x3y+x2y2-2xy+3x-4y=0,
allora l’equazione della retta tangente è data da: 3x-4y=0. Se
il punto P0 è diverso dall’origine, si trasforma la
curva Cn mediante la traslazione
che “trasporta” il punto P0 nell’origine; si trova
poi la tangente nell’origine della curva trasformata, e mediante la traslazione
inversa:
si trasforma l’equazione di questa retta , ottenendo così la tangente
cercata.
Quanto detto vale solo per i punti semplici, esistono particolari tipi
di punti della curva Cn (detti punti multipli) per i quali
il discorso fatto in precedenza si complica leggermente e non sembra opportuno
parlarne in questa sede.
Trattazione a parte meritano le coniche non degeneri (ellissi, iperboli
e parabole). Considerata una generica conica non degenere, d’equazione
C2: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,
e preso un punto P0(x0,y0) su
di essa, l’equazione della retta tangente a C2 nel punto
P0 ,si ottiene dall’equazione della conica, sostituendo
in essa, rispettivamente:
e quindi l’equazione della retta tangente risulta essere:
Questa regola prende il nome di legge di sdoppiamento delle tangenti.