Godel col suo teorema è arrivato a ottenere l’equivalente matematico della frase “questa frase non è dimostrabile”. La frase in questione, dunque, non riguarda problemi matematici, ma la frase stessa. Se questa frase (o altre analoghe) è l’unica indecidibile, l’incompletezza del sistema in cui operiamo non sembra riguardare la affermazioni di carattere matematico che esso può formulare, ma solo una particolarissima affermazione creata appositamente; dunque questa incompletezza è davvero così grave?

Godel ha dimostrato che, dato qualsiasi sistema formale, è possibile
arrivare a proposizioni che siano contemporaneamente vere e non vere,
ovvero indecidibili. Il risultato principale del lavoro di Godel sta proprio
nel fatto che è possibile e sufficiente scrivere una proposizione indecidibile
perché tutto il sistema non sia coerente.

Non è, quindi, corretto affermare che se una proposizione è l’unica indecidibile,
allora è un problema relativo alla singola proposizione: purtroppo, il
fatto di poter “creare appositamente” proposizioni indecidibili è un problema
relativo al sistema di regole formali che permettono di generarle.
In altri termini, poiché la proposizione è indecidibile, allora il sistema
che l’ha generata è incoerente.

In questo senso, l’incoerenza del sistema è grave. Per eliminare l’incoerenza,
infatti, dovremmo eliminare le regole formali che la generano.
Nel caso della lingua italiana e di molti altri sistemi formali, per eliminare
incoerenze dovremmo eliminare la regola di negazione: ovvero la possibilità
di esprimere non-realtà, come i termini “falso” e “non”. Eliminando le
regole formali, però, otteniamo un sistema incompleto.

Nell’esempio citato, potremmo formulare frasi come

“il cielo è blu”

ma, avendo eliminato la possibilità di negare proposizioni, non potremmo
dire cose come

“il cielo non è viola”

Il sistema di regole privo di negazione è evidentemente
incompleto: ovvero insufficiente a rappresentare tutti i fenomeni che
vogliamo descrivere.

Il risultato di Godel è eccezionale proprio perché dimostra
che qualsiasi sistema formale è condannato ad oscillare tra incoerenza
ed incompletezza. Nel caso dell’italiano, infatti, mantenedo la negazione
il sistema è incoerente, eliminandola diventa incompleto.

Fortunatamente incoerenza ed incompletezza non inficiano
l’applicabilità dei sistemi formali moderni, come la matematica, e la
scienza è in grado di progredire con grande efficacia ed affidablità su
realtà “locali”, come la meccanica dei corpi celesti o la statica. Seppur
incompleta, la nostra matematica è un sofisticato, meraviglioso ed affidabilissimo
strumento per modellare la maggior parte dei problemi “concreti” che si
pongono ogni giorno.

Come a dire che la “gravità” della incoerenza ed incompletezza
è puramente “filosofica”.