Il periodo dei numeri
razionali non è limitato superiormente, questo fatto si dimostra osservando
che 1/9 = 0.1111 …. , 1/99 = 0.010101…, 1/999 = 0.001001…
eccetera.
Nel seguito, per comodità,
la parte periodica del espansione decimale di un numero viene indicata
mediante sottolineatura quindi, 0.025 = 0.0252525 …. .
Definizione
Sia q un numero
razionale tale che q=n/m, per m non nullo. Il numero q
è detto periodico se le cifre dopo la virgola mostrano una
ripetizione con intervallo di ripetizione fissato, detto periodo.
Esempi di numeri periodici
sono 1/6=0.16, 1/7=0.142857, 1/99 = 0.01.
Proprietà
Le proprietà attinenti
alla struttura della parte periodica dei numeri razionali sono molteplici
e coinvolgono la Teoria dei Gruppi, i numeri primi ed il lavoro di Fermat
(matematico e magistrato francese 1601-65, fondatore della Teoria dei
Numeri e della Probabilità), in particolare il suo “Piccolo Teorema”.
La selezione di proprietà esposte nel seguito consente di esaminare gli
aspetti interessanti ed accessibili del problema.
- Un numero periodico
può mostrare una sequenza aperiodica di cifre subito dopo il punto decimale,
come ad esempio 1/24 = 0.416. - Il numero q
= 1/(10r-1) ha periodo r e vale
q=0.0…1 ove la parte periodica è, appunto, lunga
r cifre. - Il massimo periodo
di un numero q=n/m dipende unicamente dal denominatore m. - Se q=n/m è
periodico, non ha parte aperiodica dopo la virgola se e solo se m
è un divisore di 10r-1 per qualche r.
Ad esempio 1/7=0.142857=142857/999999; infatti 7
è divisore di 999999 e, ovviamente, 999999/7=142857. - Non esiste alcun
limite superiore alla lunghezza del periodo.
Le proprietà 1 e 2
introducono due aspetti strutturali dei numeri periodici decisamente interessanti.
In particolare, la proprietà 2 fornisce un metodo per costruire una base
per i numeri periodici senza parte aperiodica dopo il punto decimale.
Ciò significa che 1/999 è la base per costruire i numeri periodici
con periodo 3. La proprietà 2, unita alla 3, consente di scrivere
numeri a periodo e parte periodica arbitraria. Ad esempio è possibile
scrivere 0.367 come 367*0.001 ovvero a 367/999.
Questa considerazione dimostra la proprietà 5 e risponde automaticamente
alla domanda del lettore; infatti, non esiste alcun limite superiore ad
un numero di r cifre tutte pari a 9, ovvero 10r-1.
La proprietà 4 si
dimostra per assurdo in entrambo i versi di implicazione. Senza entrare
in dettaglio (una prova formale sarebbe tediosa), supponendo che sia falsa
si ottiene che 10r-1 ha parte aperiodica
dopo il punto decimale, il che è assurdo.