Osservando la serie dei quadrati dei numeri naturali ho notato che la differenza dei risultati è la progressione dei numeri dispari. esempio: numeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.. quadrati 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100.. differenza 3 5 7 9 11 13 15 17 19.. Esiste una teoria sull’argomento?

Matematica  ·  Teoria dei numeriViews: 9328

Non serve una teoria per dimostrare quella proprietà della
successione dei quadrati, ma basta calcolare direttamente quant’è
la differenza tra due quadrati consecutivi, infatti: 

(n + 1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 –
n2 = 2n + 1

e quindi la differenza tra l'(n+1)-esimo quadrato e l’n-esimo quadrato
è il numeri dispari 2n+1. Se si vuole generalizzare, c’è
bisogno di fare un’osservazione in più: dopo aver calcolato la successione
delle differenze dei quadrati consecutivi, si può calcolare la successione
delle differenze dei termini consecutivi di quest’ultima e accorgersi che
si ottiene una successione costantemente uguale a 2 ( ovviamente perché

 la differenza tra due numeri dispari consecutivi è sempre
2). Un fenomeno simile si ha anche con i cubi dei numeri naturali: 

a
b
c
d
0
1
1
8
7
6
27
19
12
6
64
37
18
6
125
61
24
6
216
91
30
6
343
127
36
6
512
169
42
6
729
217
48
6
1000
271
54
6


  

 

Nella colonna (a) sono stati messi i cubi dei primi 10 numeri naturali,
nella (b) le differenze di due termini consecutivi della colonna (a): 7
= 8 -1, 19 = 27 – 8… ; nella colonna (c) le differenze di due termini
consecutivi della colonna (b) e nella (d) la differenza di due termini
consecutivi della (c). Come per magia nella colonna (d) compare sempre
il numero 6! La cosa più stupefacente è che funziona anche
con potenze più grandi e in generale il metodo per dimostrare che
si giunge sempre ad una successione costante è identico a quello
usato sopra per i quadrati: provare per credere! Se uno si vuole proprio
sbizzarrire può cercare di calcolare nei diversi casi quanto vale
la costante o trovare una dimostrazione semplice di tutto questo (magari
con l’uso delle derivate).