[M] Il giocattolo
L’appartenenza dello zero ai numeri naturali è un tema decisamente
controverso. Il problema non è solamente di “alcuni” ma, purtroppo,
di “tutti” i matematici.
Tanto il decidere per l’inclusione, quanto per l’esclusione porta a
problemi concettuali non banali. Questa, la situazione attuale:
-
Non esiste un accordo generalizzato per l’esclusione o l’inclusione dello
zero nei naturali -
Ciascuna scelta porta a problemi di incoerenza (nel caso dell’inclusione)
o di incompletezza (nel caso dell’esclusione) praticamente irrisolvibili.
Con buona pace del luogo comune “la matematica non è un opinione”,
per renderci conto quanto sia assente uno standard definito, osserviamo
le due modalità di classificazione dei tipi di numeri.
In alcuni istituti scolastici ed universitari americani e greci i numeri
popolarmente indicati come “senza virgola” sono classificati come segue:
- numeri naturali: 1,2,3,4,5…
-
numeri “whole” (integri – da non confondere con gli interi -): 0,1,2,3,4,5
… - numeri interi : …-3,-2,-1,0,1,2,3 …
Inoltre, sebbene sia una usanza deprecata dai più, i numeri positivi
1,2,3,4,5 vengono detti da alcuni “assoluti”, mentre vi è accordo
assoluto sui numeri negativi -3, -2, -1. La distinzione tra numeri naturali
e “whole”, termine intraducibile (senza ambiguità) per indicare
i naturali con lo zero incluso è sfruttata per costruire più
agevolmente i razionali (popolarmente, i “numeri fratti” o “frazioni”)
dicendo che un numero razionale è costruito dividendo un numero
“whole” per un naturale.
Nel testo “Algebra” di riferimento
del corso di Matematica all’Università di Roma “La Sapienza” (cap.
2), l’insieme dei numeri naturali viene definito con lo zero incluso.
Bertrand Russel, in “Introduzione
alla filosofia matematica”(pag.20) asserisce, nel celebre brano:
“Per una persona di cultura media, oggi, il punto ovvio di partenza
della matematica sarà la successione dei numeri interi (“whole”),
1,2,3,4 …
E’ probabile che solo ad una persona che conosca un po’ di matematica
verrebbe in mente di cominciare con lo 0 anziché da 1; presupponiamo
comunque questo grado di cultura e prendiamo come nostro punto di partenza
la serie
0,1,2,3,…,n,n+1,…
questa sarà la serie che chiameremo ‘la serie dei numeri
naturali’ “.
Purtroppo, nella edizione italiana “whole numbers” è stato tradotto
come “interi”, generando confusione con i veri e propri interi, ovvero
la serie dei relativi popolarmente nota come dei “numeri col segno”.
Si osservi come Russel impieghi i termini “naturali” e “whole” in modo
opposto a quanto esposto prima.
L’origine dei numeri naturali sembra essere dovuta alla necessità
di assegnare ad un insieme di oggetti un simbolo che ne definisca la quantità.
Questa operazione di astrazione è stata una operazione sicuramente
non banale che testimonia il nostro alto grado di civiltà. Lo stesso
Russel dice:
“Devono infatti essere stati necessari molti secoli per scoprire
che una coppia di fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni
del numero 2; il grado di astrazione che questo comporta non è certo
lieve. (…) Quanto allo 0, è una scoperta recentissima; i Greci
ed i Romani non avevano questa cifra”.
In questo passo Russell usa un efficace gioco di parole sul termine
inglese “digit” che in italiano significa sia “cifra” che “dito”.
Quindi lo zero è sicuramente un numero particolare, poiché
non è corrispondente ad alcun “dito” e rappresenta la “quantità
di cose in un insieme di oggetti che non esiste”.
Supponiamo di essere un gestore di una taverna nell’antica Roma che
abbia la necessità di tenere il conto del numero di bottiglie Falerno
in cantina. Il sistema dei numeri naturali può essere un ottimo
strumento per supportare il nostro lavoro.
La definizione originale dei numeri naturali, con lo zero escluso,
è incompleta senza un simbolo che indichi l’assenza di oggetti in
un insieme. Non saremmo infatti in grado di scrivere su un foglio l’evento
“non ci sono più bottiglie in cantina”. Viceversa, l’inclusione
dello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell’insieme basata sull’assunto
che ogni numero è corrispondente alla presenza di una quantità
di bottiglie. Lo zero sarebbe l’unico numero legato alla assenza di bottiglie.
Quindi, mentre i numeri 1,2,3… sono legati ad una presenza concreta
di oggetti, lo zero è sicuramente speciale perché corrisponde
all’idea astratta dell’assenza di bottiglie.
La difficoltà di adottare il modello inclusivo o esclusivo è
quindi evidente: se i numeri naturali sono l’astrazione della misura di
una quantità di oggetti, come si colloca lo zero, in quanto “misura
del vuoto” ?
I matematici hanno, quindi, tanta difficoltà ad inserire
quanta ad escludere lo zero nei numeri naturali (nei libri di matematica
lo zero è apparso nella serie dei numeri naturali solo dagli anni
’60 in poi) perché adottando il modello inclusivo si ottiene un
sistema di numerazione completo, in grado di rappresentare anche il fenomeno
dell’assenza. Ma includendo lo zero siamo costretti ripetutamente ad escluderlo
e a trattarlo come una eccezione quando si tentano di compiere ulteriori
operazioni sui naturali (ad esempio, nella costruzione dei numeri razionali
siamo obbligati ad escludere lo zero dal denominatore). Viceversa, adottando
il modello esclusivo le incoerenze scompaiono ma non siamo più in
grado di rappresentare alcuni fenomeni, come la misura dell’insieme vuoto.
[S/U] Quando il giocattolo
si rompe.
Diamo uno sguardo più da vicino alla definizione dei numeri naturali
ed alle proprietà che ne derivano.
L’insieme N è definito dai postulati di Peano
[U]
“Il sistema N dei numeri naturali è un insieme N con una
funzione
succ:N->N (la funzione “successore”) ed un elemento privilegiato 0 in N
tale che:
1) succ è iniettiva
2) 0 non appartiene all’immagine di succ
3) qualsiasi sottoinsieme di U di N che abbia lo 0 e che contenga
il successore di ogni elemento di N e di U è uguale a tutto N “
In soldoni, il sistema dei numeri naturali N è costruito nel
modo seguente:
[S]
N ha un elemento iniziale, detto 0, ed una funzione di successore tale
che
1) non esistono due numeri naturali con lo stesso successore
2) lo 0 non è successore di alcun numero naturale
3) N è l’unico insieme che contiene lo zero e tutti i suoi successori
(ovvero, ogni insieme che goda di questa proprietà è uguale
ad N)
Il terzo postulato di Peano è importante perché definisce
il “principio di induzione matematica”, formulato nel modo seguente:
[U]
“Sia M un insieme ordinato, P una proposizione (o proprietà)
definita sugli
elementi m di M e 0 il primo elemento di M:
Se
P(0) è vera
(passo base dell’induzione)
e
P(m) è vera
(ipotesi induttiva) => P(m+1) è vera
allora
P(m) è vera per
ogni m in M “
In soldoni:
[S]
Se M è un insieme ordinato (ovvero è definito un elemento
iniziale 0 ed è possibile stabilire in modo univoco il successore
di ogni elemento in M). Sia inoltre P una proprietà qualsiasi che
sia vera per lo 0.
Se, supponendo che P sia vera per un elemento qualsiasi di M, riusciamo
a dimostrare che P è vera anche per il suo successore, allora P
è vera per tutto M.
I postulati di Peano consentono, quindi, di costruire l’insieme dei
numeri naturali N partendo da un elemento iniziale ed utilizzando una funzione
di costruzione del successore tramite un procedimento detto di “induzione
strutturale”.
La differenza tra il modello inclusivo ed esclusivo è apparentemente
banale: nel primo l’elemento privilegiato è lo zero, nel secondo
è l’uno.
La costruzione dei naturali per induzione strutturale è un procedimento
astratto; in altri termini nel procedimento non viene definito il “significato
concreto” associato ad ogni elemento in N. In realtà l’insieme dei
numeri naturali è nato per rappresentare la quantità di oggetti
in un dato insieme o, più formalmente:
[U] “Esiste un
isomorfismo
tra l’insieme N dei numeri naturali e la cardinalità degli insiemi
finiti”
Al numero n corrispondono quindi gli insiemi finiti di n
penne, n tavoli, n viaggi alle Maldive, ecc..
E al numero 0 ? Che senso ha dire che al numero zero corrispondono
0 penne, 0 tavoli, 0 viaggi alle Maldive ?
Non c’è dubbio che allo zero spetti un trattamento decisamente
speciale. Includendo lo zero nei numeri naturali si va incontro ad una
serie interminabile di eccezioni e paradossi, ad esempio:
-
Se ad ogni numero naturale n corrisponde un insieme finito di n elementi,
al numero zero deve corrispondere un insieme finito di zero elementi. Ma
zero è un numero finito ? In matematica i numeri possono essere
finiti o infiniti, non c’è via di mezzo. Per il principio di induzione
zero deve essere finito, altrimenti non vale il passo base dell’induzione
e nessun numero naturale sarebbe finito. Quindi, zero “deve essere” finito.
Allo stesso modo, l’insieme vuoto “deve essere” finito, per quanto sia
difficile da digerire, in concreto.
-
Nella costruzione dell’insieme Q dei numeri razionali, un numero q = n/m
è finito se n ed m sono finiti. Nell’ipotesi che zero sia finito,
il rapporto n/0 è finito o no ? Se non è finito, la regola
“il rapporto tra due numeri finiti è un numero finito” è
vera o no ? Diciamo allora che è sempre vera “tranne” per m = 0.
Il problema è evidente. Il modello inclusivo è sicuramente
più potente ma porta a dei paradossi decisamente complessi. Per
essere coerente, il modello inclusivo deve essere necessariamente astratto.
Accettando lo zero nei numeri naturali dobbiamo accettare una serie di
fatti non immediati come “lo zero è un numero finito”, “gli insiemi
vuoti sono insiemi finiti”. In astratto il problema è pressoché
inesistente; ma proviamo a contare, in concreto, quanti oggetti sono in
questa stanza: 4 monitor, 3 tavoli ,…, zero elefanti, zero calotte polari
artiche (per non contare gli oggetti di fantasia, tipo zero Sarchiaponi
…).
Ancor peggio, anche adottando il modello esclusivo siamo costretti
ad estendere l’insieme dei naturali creandone uno nuovo, con le stesse
proprietà del modello inclusivo. Questo è il caso dei “whole
numbers”. Il potenziale espressivo dei naturali senza lo zero è
insufficiente.
[S] Ma è possibile
costruire un giocattolo che non si rompa ?
Si direbbe, quindi, che siamo perennemente condannati ad oscillare tra
completezza e coerenza. Scegliendo in direzione della coerenza perdiamo
in completezza, viceversa scegliendo la completezza perdiamo in coerenza.
Da una domanda apparentemente banale come “ma è così
difficile includere lo zero nei numeri naturali?” arriviamo, di fatto,
al limite strutturale di tutti gli impianti concettuali e, azzardo, forse
dell’universo.
Uno dei risultati più sconcertanti della scienza dall’inizio
del secolo sembra essere proprio il fatto che è impossibile stabilire
un sistema che sia contemporaneamente completo, cioè in grado di
coprire tutti i fenomeni osservabili, e coerente, cioè che non consenta
di arrivare a dei paradossi o contraddizioni, partendo dalle stesse regole
(o assiomi) del sistema formale.
Mi rendo conto che quanto sto per affermare (sottolineo: è una
opinione personale) può suscitare un vespaio di polemiche ma, a
mio avviso, il principio di indeterminazione di Heisenberg
ed il teorema di Godel sono due espressioni di questo
limite strutturale.
Principio di Indeterminazione di Heisenberg
“Non possiamo mai conoscere contemporaneamente e con precisione la posizione
e la quantità di moto di una particella subatomica”
Teorema di Incompletezza di Godel
“Per ogni sistema formale di regole ed assiomi è possibile arrivare
a proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale”
Entrambe le affermazioni postulano che è impossibile formulare
un sistema che sia contemporaneamente coerente e completo e che tale impossibilità
è sia fisica (Heisemberg) che concettuale (Godel).
E’ fisicamente impossibile conoscere con completezza lo stato di una
particella subatomica (qualitativamente: tutto l’universo è fatto
di particelle subatomiche) e se ci proviamo la nostra misurazione non può
essere coerente con le altre, perché imprecisa.
E’ concettualmente impossibile stabilire un sistema formale di regole
coerente e completo che rappresenti i fenomeni; eliminando gli assiomi
che possono portare alla contraddizione si perde in completezza, e viceversa.
Il motivo per cui i matematici hanno tante difficoltà ad inserire
lo zero nella serie dei numeri naturali è per la impossibilità
di decidere nell’uno o nell’altro senso. In linea teorica è possibile
astrarre il significato dei numeri naturali aggiungendo lo zero e sfruttando
il sistema formale ottenuto per modellare realtà “locali” (cioè
limitate ad un ambito specifico), ma è certamente impossibile stabilire
una volta per tutte e per tutti i fenomeni un modello unico di riferimento.
Appendice
Applicazioni o funzioni.
f(A) := Im(f) := {b in B tali che b = f(a) per ogni a in A}
-
iniettiva se f(a) = f(b) <=> a = b per ogni a,
b in A - suriettiva se f(A) = B
- biettiva se f è suriettiva ed iniettiva
Se f è biettiva si dice anche “isomorfismo tra A e B” o “corrispondenza
uno a uno“.
Bertrand Russel
Werner Heisenberg
Kurt Godel
Bibliografia
“Algebra” S. M. Lane e G. Birkhoff ed. Mursia (<)
“Introduzione alla filosofia matematica”,Ed.
Newton Tascabili(<)