Tratterò per semplicità il caso di funzioni reali di variabile reale, visto che nella domanda non è specificato.
Data una funzione f definita su (a,b) intervallo (chiuso o aperto non importa) a valori in R diciamo che f è continua in x se per ogni intorno V di f(x) esiste un intorno U di x tale che per ogni y che sta in U, si ha f(x) ∈V.
Sostanzialmente si sta chiedendo che se y è vicino ad x, allora f(y) è vicino a f(x), ovvero che f(y) tende a f(x) se y tende ad x. Infatti la definizione data di continuità equivale, nelle condizioni date, alla definizione di limite pari a f(x) per la funzione f. Ecco quindi il modo “pratico” per determinare se una funzione è continua in un punto x del dominio; il limite di f(y) per y che tende ad x deve essere f(x).
In realtà quello che si fa è applicare Teoremi già noti; ovvero è dimostrato che le funzioni elementari note (polinomi, funzioni circcolari, ecc…) sono continue ove definite. Inoltre componendo funzioni continue mediante operazioni “classiche” (somma, differenza, prodotto, ecc…) si trovano ancora funzioni continue, sempre limitatamente al dominio.
La regola da verificare, in ogni caso, rimane la verifica del calcolo del limite, ricordando in proposito che il limite esiste se e solo se esistono e sono uguali limite destro e sinistro. In particolare ciò può tornare utile per studiare la continuità di una funzione definita a tratti, per esempio, f(x)=f1(x) per x<x0, e f(x)=f2(x) per x>=x0: per la continuità di f in x0 basta quindi calcolare limite destro e sinistro di f per x che tende ad x0, e imporre l’uguaglianza.
Così come la continuità è un limite, anche la derivabilità lo è; f si dice derivabile in x se esiste il limite per h che tende a 0 di [f(x+h)-f(x)]/h; tale limite, se esiste ed è finito, si dice derivata prima di f in x. Si vede facilmente che tale valore ha il significato di coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x. Dunque una funzione derivabile è una funzione con il grafico “liscio”, senza angoli o spigoli. Anche per la derivabilità spesso la verifica si appoggia a risultati noti: la derivabilità delle funzioni elementari, e Teoremi che assicurano la derivabilità della composizione di funzioni elementari. La strada corretta, in ogni caso, è la verifica diretta dell’esistenza e finitezza del limite del rapporto incrementale. Va aggiunto che non è necessario che il limite del rapporto incrementale diventi infinito affinchè la derivata non esista; potrebbe anche non esistere, ed è il caso dei punti angolosi, per esempio per la funzione y=|x|, la quale in x=0 non ammette derivata, essendo diversi i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale, ma finiti.