La risposta discende per analogia al caso ordinario; consideriamo per esempio l’equazione ordinaria y'(x)=0; allora tutte le soluzioni di tale equazione differenziale sono date da y(x)=c, con c costante reale. Quindi l’equazione ammette infinte soluzioni, dipendenti da un parametro (->equazione del primo ordine). Scegliendo dunque un dato iniziale, si arriva ad una sola soluzione; per esempio se impongo y(0)=2, l’unica soluzione è y(x)=2.
Per un problema del secondo ordine, per esempio, y”(x)=0, servono due condizioni iniziali. Infatti, tutte le soluzioni del problema dato sono y(x)=ax+b, con a,b costanti reali. Ad esempio possiamo imporre dato inziale su y(0) e su y'(0), ottenendo un problema di Cauchy; oppure possiamo imporre condizioni al bordo, ovvero diciamo quanto deve fare y(0) e y(1) e vogliamo la soluzione in (0,1), che sarà, in tal caso, la retta che congiunge i punti assegnati al bordo.
Per analogia il tutto si trasporta alle equazioni alle derivate parziali; uno assegna l’equazione, ad esempio, Δu=0, su un dominio piano Ω; tale problema del secondo ordine ammette infinite soluzioni, a meno di dare una condizione al bordo, ovvero assegnare u su ∂Ω. Si ottengono, in tal caso, le cosidette funzioni armoniche, con valore assegnato al bordo.