La soluzione dell’equazione esponenziale 5^x+12^x=13^x è x=2 (25+144=169) ma sembra sia impossibile risolverla attraverso calcoli matematici, (utilizzando ad esempio i logaritmi).Mi piacerebbe sapere come si fa a risolvere questa equazione il cui risultato è intuitivo.

L’equazione postata non può essere risolta in modo elementare, sebbene sia facile vedere “a occhio” una sua soluzione, la quale a priori potrebbe anche non essere l’unica soluzione.

Quanto ad una eventuale tecnica alternativa, l’unica strada aperta potrebbe essere un approccio di tipo numerico; infatti l’equazione può essere riscritta come 5^x =13^x-12^x. Di conseguenza l’idea è quella di studiare le intersezioni tra la curva y=5^x e la curva y=13^x-12^x. Qui sotto è riportata la situazione, nella quale per altro non si nota l’intersezione:

essendo la curva blu y=5^x e la curva rossa y=13^x-12^x. Dal grafico sembra comunque chiaro che ci sia solo un intersezione maggiore di 0 e minore di 3. Di conseguenza adesso possono essere applicati parecchi schemi iterativi per andare alla ricerca dell’unica soluzione dell’equazione: metodo di bisezione, di newton, e tanti altri. Non è il caso di entrare nel dettaglio di questi metodi, che possono portare a conti sofisticati; va solo detto che attraverso essi uno approssima bene quanto vuole la soluzione, quindi verosimilmente tali metodi convergeranno verso la soluzione x=2.