La Geometria analitica discende da un’intuizione fondamentale dovuta a Cartesio: associare ad un punto del piano una coppia di numeri reali, dette coordinate del punto, che sono le lunghezze delle proiezioni su due rette fissate, chiamati assi del riferimento.
Questa formidabile scoperta permette di studiare gli enti geometrici come enti algebrici: le rette diventano insiemi di punti le cui coordinate (x,y) verificano una certa equazione, ax+by+c=0. In tale contesto una curva nel piano avrà un’equazione f(x,y)=0, per un’opportuna funzione f. Per non parlare della generalizzazione di tutto a dimensioni superiori. Una delle conseguenze fondamentali dell’introduzione della Geometria analitica e del metodo delle coordinate è stato l’inizio del pensiero infinitesimale; vedendo rappresentati in modo algebrico gli enti geometrici, ci si è chiesti come andare ad “algebrizzare” oggetti sempre più complicati ma importanti, come tangenti, velocità, aree, volumi, ecc.. ed ecco la nascita del calcolo differenziale ed integrale.
Quanto alla relazione con il calcolo vettoriale, ovviamente essa è molto intima (il calcolo vettoriale trae le sue origini dalla Geometria analitica); allo scopo si veda http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=10422