Data una funzione f definita su un intervallo (a,b) a valori reali (per semplicità mi metto in tali condizioni) uno dei problemi più importanti di cui si occupa l’Analisi Matematica è quello di andare a trovare i punti in cui f assume valore massimo o minimo, sempre che essi esistano. x si dice di massimo locale se f(x)>f(y) pe ogni y in un intorno di x. Se vale la disuguaglianza opposta x si dice di minimo locale.
Lo strumento fondamentale per trovare questi punti è rappresentato dal calcolo delle derivate; infatti se una funzione “abbastanza regolare”, con un grafico liscio diciamo, ha un punto di massimo (o minimo) locale in (a,b), allora in quel punto il grafico della funzione ha una retta tangente orizzontale, ovvero ha derivata zero. Diciamo infatti che una funzione f definita in (a,b) a valori reali è derivabile in x se esiste il limite per h che tende a 0 del rapporto
[f(x+h)-f(x)] / h.
In tal caso tale limite si denota con f'(x) e viene detto derivata prima di f in x. La derivata prima di f in x fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x; dunque, quello che si dimostra è che se x è punto di massimo (o minimo) locale in (a,b), allora, se la funzione f è derivabile in x, si ha f'(x)=0.
Infatti supponiamo x sia punto di massimo locale; allora se h>0 è abbastanza piccolo, si ha f(x+h)-f(x)<0, invece se h<0, allora f(x+h)-f(x)<0. Dunque f'(x) deve essere limite di termini positivi o negativi, e quindi deve essere 0.
I punt in cui f'(x)=0 sono detti punti critici per f; essi potrebbero essere punti di massimo o di minimo locale, od anche punti di flesso. Per classificare i punti critici trovati basta ricordare che se una funzione ha derivata prima positiva in un punto, allora è ivi crescente, mentre se ha derivata negativa è ivi decrescente, e questo si vede subito grazie al significato geometrico della derivata come coefficiente angolare della retta tangente.
Dunque, se x è punto critico per f, sarà punto di massimo locale laddove f cresce prima di x e decresce dopo x, mentre sarà punto di minimo locale laddove f decresce prima di x e cresce dopo x. Se nessuno dei due casi si presente, x sarà punto di flesso.
Esempi: f(x)=x2, su tutto R, ha minimo locale (ed anche assoluto) in x=0; infatti f'(x)=2x=0 se x=0. Ma f'(x)>0 se x>0 e f'(x)<0 se x<0, da cui x=0 è punto di minimo. f(x)=-x2 ha ovviamente punto di massimo locale (ed assoluto) in x=0. Invece f(x)=x3 ha derivata prima 3x2 che si annulla per x=0 ma rimane sempre positiva, e dunque la funzione passa per x=0 rimanendo crescente, da cui x=0 punto di flesso (a tangente orizzontale).