In generale in una varietà riemanniana si può esprimere il prodotto scalare, anzi la definizione stessa di tensore metrico fornisce il prodotto scalare.
Dati due vettori tangenti di componenti vi e wj rispetto alla base canonica dello spazio tangente alla varietà in un punto p (avendo fissato un sistema di coordinate) allora, se gij rappresenta il tensore metrico, si ha che la quantità
gijvi wj
è un invariante, essendo gij le componenti di un tensore. Si passa quindi a definire la lunghezza di un vettore tangente (controvariante) come ||v||2=e(v)gijvi wj, dove e(v)=1 oppure -1 per rendere il secondo membro positivo.
Presi quindi due versori tangenti v e w si definisce l’angolo θ tra loro come l’angolo tale per cui
Presi quindi due versori tangenti v e w si definisce l’angolo θ tra loro come l’angolo tale per cui
cos θ=gijvi wj.
Ciò è completamente indipendente dalla curvatura della varietà.