L’errore sta nel fatto che Zenone, presunto autore del celebre paradosso illustrato, era dell’idea, comune all’epoca, che la somma di infiniti addendi non potesse dare un risultato finito.
In effetti la somma di infiniti addendi è un’operazione che non ha significato; proprio per questo è stato ideato il concetto di limite che permette di dare un significato ragionevole a tale operazione, che quindi perde la sua “algebricità”.
Più precisamente data una successione xn di numeri reali, si pone Sk=x1+x2+…+xk . Se si vuole sare un senso alla somma degli infiniti xn allora basta definire S=limk →+∞ Sk, nel caso in cui esista e sia finito.
Fatta questa premessa teorica, il paradosso di Zenone si scioglie rapidamente; la freccia deve percorrere il segmento AB che supponiamo di lunghezza 1. Supponiamo anche che la freccia viaggi a velocità costante v, che supponiamo anch’essa pari a 1 (la difficoltà matematica del problema non cambia). Allora il tempo necessario per arrivare a metà distanza sarà t1=1/2; il tempo per arrivare a metà del percorso rimanente sarà t2=t1+1/4=1/2+1/4. Il tempo per arrivare a metà del percorso che ancora resta sarà t3=t2+1/8=1/2+1/4+1/8. Così il tempo per arrivare al k-esimo nodo della suddivisione di AB sarà dato da tk=1/2+1/4+1/8+…+1/2k. Dunque si ha la somma del termine xn=(1/2)n. Si dimostra facilmente che Sk=1+q+q2+…+qk =(1-qk+1)/(1-q), se q≠1. Ne segue che tk=(1-(1/2)k+1)/(1-1/2)-1=2(1-(1/2)k+1)-1. Passando al limite si ha che il tempo affichè la freccia percorra l’intero segmento “passando da una metà alla successiva” è (guarda caso) t=limk→+∞ tk=2-1=1, avendo che (1/2)k+1 → 0.