Ho problemi con le dimensioni dei sottospazi vettoriali. Come faccio a sapere se esistono, ad es., sottospazi di R3 di dimensione 1 o sottospazi di R4 di dimensione 5 e così via…Vi ringrazio moltissimo!

Lo spazio vettoriale Rⁿ è uno spazio vettoriale reale di dimensione n; se prendiamo una base di Rⁿ, ad esempio B=(e₁,…,e_n), allora presi k vettori qualunque di B, con k<n, lo spazio vettoriale generato da questi k vettori è un sottospazio di dimensione k.

In generale, per altro, la dimensione di un sottospazio non può superare la dimensione dello spazio di cui è sottospazio vettoriale. Quindi non esisteranno sottospazi di R⁴ di dimensione 5, ma solo di dimensione 0 (il vettore nullo),1,2,3.

Data l’infinità di modi con cui uno può prendere basi di Rⁿ, si ha un’altrettanta infinità di modi di prendere sottospazi vettoriali.

Un modo per visualizzare quello che si sta facendo, per esempio in R³: immaginando R³ come lo spazio euclideo tridimensionale dei vettori uscenti dall’origine O, allora i sottospazi 1-dimensionali sono le rette per O, mentre i sottospazi di dimensione 2 sono i piani passanti per O. Questo è sostanzialmente il metodo moderno di fondare la Geometria euclidea sull’algebra lineare.