Per flusso di un campo vettoriale F: R3 → R3 attraverso una superficie orientata S si intende il valore dell’intregrale
Φ=∫S<F,n>ds
dove <…,…> denota il prodotto scalare, e n denota il versore normale alla superficie S, nel generico punto di S; ds è l’elemento di superficie su quale integrare.
Per definizione il flusso si calcola quindi come un integrale di superficie di un campo scalare, il campo G(x)=<F(x),n(x)>, con x ∈S. Dunque si avrà, se S è parametrizzata da r=r(u,v), con (u,v) ∈D⊆R2,
Per definizione il flusso si calcola quindi come un integrale di superficie di un campo scalare, il campo G(x)=<F(x),n(x)>, con x ∈S. Dunque si avrà, se S è parametrizzata da r=r(u,v), con (u,v) ∈D⊆R2,
Φ=∫D<F(r(u,v)),n(u,v)>|| ∂r/∂u x ∂r/∂v || dudv,
ovvero la classica formula per l’integrale di superficie di un campo scalare.
Alternativamente, se il campo è sufficientemente regolare e la superficie S è regolare ed è il bordo di un certo volume V (quindi sarà chiusa), può essere usato il Teorema della divergenza, che riduce il calcolo del flusso ad un integrale di volume; più precisamente si ha
∫S<F,n>ds=∫Vdiv F(x,y,z) dxdydz,
dove div F(x,y,z)=∂F1/∂x+∂F2/∂y+∂F3/∂z, essendo Fi la i-esima componente del campo F, con i=1,2,3.