Buongiorno, mi piacerbbe conoscere che differenza c’è e come si risolvono le equazioni differenziali e le equazioni alle differenze (o alle ricorrenze) con i rispettivi metodi di risoluzione. Grazie mille

Il discorso equazioni differenziali è un discorso molto delicato, e va detto subito che un’equazione differenziale, in generale, non si risolve esplicitamente.

Quello che però è importante, in Matematica, non è avere una soluzione esplicita per l’equazione, bensì avere un Teorema che garantisca esistenza e, in certi casi, unicità della soluzione. Infatti questo basta, ma è necessario, per applicare i vari metodi numerici che consentono di avere un’approssimazione della soluzione.

Per quanrto riguarda sistemi di equazioni ordinarie (ovvero sistemi di equazioni differenziali in cui l’incognita è una funzione definita su un intervallo reale) esiste il Teorema di esistenza ed unicità locale di Cauchy, che afferma, sotto certe ipotesi non troppo restrittive, che esiste ed è unica la soluzione.
Per esempio, per una singola equazione y'(x)=f(x,y), le ipotesi del Teorema sono: f continua e localmente lipschitiziana rispetto alla variabile y. Sotto tali condizioni l’equazione ammette una sola soluzione y=y(x) che verifica una condizione inizialmente imposta y(x₀)=y₀.

Per quanto riguarda il discorso equazioni alle derivate parziali la teoria è molto più complessa, e non esiste un Teorema generale che afferma l’esistenza ed unicità di una equazione alle derivate parziali. Basti pensare che oggi la ricerca matematica in Analisi è quasi totalmente finalizzata alla soluzione di equazioni alle derivate parziali. Spesso tali equazioni “provengono” da un funzionale energia, per il quale i punti di minimo sono soluzioni dell’equazione stessa (metodi variazionali) oppure ancora equazioni di “evoluzione” ovvero equazioni in cui è privilegiata una variabile tra tutte, che è appunto il tempo.

Infine le equazioni alle differenze sono della forma F(y_n+1,…,y_n+k)=0, e si cerca una soluzione y_n che è quindi una successione. Vale un po’ anche qui lo stesso discorso fatto per le equazioni differenziali; molto raramente anche in tal caso si trova una soluzione esplicita, e i metodi numerici la fanno da padrone per avere una soluzione approssimata. Quindi anche in tal caso ci si appoggia, teoricamente, a Teoremi di carattere generale che forniscano esistenza ed unicità della soluzione. Va sottolineato, per altro, che le equazioni alle differenze appaiono di per sè già in contesti di Analisi numerica, dal momento che la maggior parte di quelle studiate deriva da discretizzazioni di equazioni differenziali.