Salve!Sto cercando la dimostrazione che prova che l’insieme delle parti è costituito da un numero di sottoinsiemi pari a 2^(n-1). E’nelle vostre facoltà fornirmela? Vi ringrazio molto e rinnovo i mei complimenti per il sito. Aspetto una risposta,spero positiva. E.L.

Vale molto di più di quello chiesto; si dimostra infatti il seguente Teorema:

Teorema: Sia X un insieme; allora l’insieme delle parti P(X) è in corrispondenza biunivoca con l’insieme 2^X che è l’insieme della funzioni da X in {0,1}.

Dimostrazione. Sia f : P(X) → 2^X la funzione f(A)=c_A, dove c_A : X → {0,1} ed è data da c_A(x)=1 se x∈A e c_A=0 se x∉A. Per ogni g : X → {0,1} sia X_g={x∈X : g(x)=1}. Allora la funzione h : 2^X → P(X) data da h(g)=X_g inverte f. Quindi f è una biiezione, da cui la tesi.

Applicando tale Teorema al caso in cui X abbia cardinalità finita pari a n, si trova che la cardinalità di P(X) è pari a 2ⁿ.