Sia data l’ellisse di equazione canonica data da x2/a2+y2/b2=1. Parametrizziamo ponendo x=a sent, y=b cost, con t ∈[0,2π). Allora il perimetro dell’ellisse è dato da
∫[0,2π) √(a2cos2t+b2sen2t)dt=4∫[0,π/2) √(a2cos2t+b2sen2t)dt.
Poniamo x=sent; allora si ha che il perimetro vale
4∫[0,1] √(a2-a2x2+b2x2)1/√(1-x2)dx,
il quale, purtroppo, è un integrale ellittico (e la terminologia non è affatto casuale); gli integrali ellittici in generale non sono calcolabili esplicitamente. Spesso si cerca di calcolarli per sviluppi in serie, ma comunque sia si otterrà per esse sempre e solo un valore approssimato.