I numeri algebrici, per definizione, sono quei numeri reali che sono radici di un polinomio a coefficienti interi. Essi formano un sottoinsieme numerabile di R; dunque il complementare è un insieme non numerabile, l’insieme dei numeri trascedenti.
Dimostrazione. Cerchiamo di numerare i numeri algebrici; consideriamo un’equazione algebrica a coefficienti interi della forma
a(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn.
Sia |a|=n+|a0|+|a1|+…+|an|. Evidentemente risulta |a| ∈ N; inoltre per ogni m ∈ N esiste un numero finito di polinomi a(x) tali per cui |a|=m. Dal momento che l’equazione a(x)=0 può avere al massimo n radici distinte, avremo al massimo n numeri algebrici per ogni equazione.
Dunque enumeriamo i numeri algebrici in questo modo: prima quelli derivanti da tutte le equazioni a(x)=0 con |a|=1, poi tutti quelli con |a|=2, e così via, ottenendo la numerazione voluta dei numeri algebrici.
Dunque enumeriamo i numeri algebrici in questo modo: prima quelli derivanti da tutte le equazioni a(x)=0 con |a|=1, poi tutti quelli con |a|=2, e così via, ottenendo la numerazione voluta dei numeri algebrici.