In effetti il sistema dato non è di facile soluzione, ma è simmetrico, e tale caratteristica rende applicabili alcuni trucchetti.
Anzitutto se o=0, allora o x o y o z valgono 0. Per esempio, supponiamo z=0; allora il sistema diventa x+y=n, xy=m che si risolve ponendo x=s1 e y=s2 ed anche x=s2 e y=s1 dove s2-ns+m=0. Analogo il caso y=0 oppure x=0.
Sia invece o diverso da 0; allora x,y e z devono essere diversi da 0. Per cominciare riscriviamo due equazioni nel seguente modo: 1) x+y=n-z; 3) xy=o/z. Allora x e y, come prima, vengono ad essere le soluzioni (alternandole per simmetria) dell’equazione s2 -(n-z)s+o/z=0. Ora dobbiamo solo trovare z; la seconda equazione diventa o/z+xz+yz=m, ovvero z2(x+y)-mz+o=0, cioé z2(n-z)-mz+o=0, che fornisce i valori di z (si tratta di un’equazione di terzo grado per la quale esiste la teoria di Cardano-Tartaglia), da cui si trova quindi z inserendo i valori trovati per x e y.
Ringrazio D. Annunziata per la segnalazione di una piccola svista.