La domanda posta richiede di scrivere l’equazione di un piano qualunque che formi un assegnato angolo θ con il piano orizzonatale xy, per cui procederò scegliendo la situazione più di comodo per la trattazione analitica, e anche un procedimento che non è il solo possibile, ma è del tutto elementare.
Dato lo spazio euclideo R3 cerchiamo un piano con la proprietà richiesta che inoltre intersechi il piano stesso xy lungo la retta x=0. Basta determinare un ulteriore punto per trovare l’equazione del piano voluta; vista la condizione imposta, richiediamo quindi che il punto di coordinate cartesiane ortogonali (1,0,tan θ) appartenga al piano.
Dunque in definitiva il piano richiesto deve passare per i seguenti 3 punti: (0,0,0), (0,1,0) e (1,0,tan θ). Sia ax+by+cz=d l’equazione richiesta; imponendo il passaggio si avrà:
1) passaggio per (0,0,0): d=0;
2) passaggio per (0,1,0): b=0;
3) passaggio per (1,0,tan θ): a+ctan θ=0.
L’equazione del piano sarà quindi -ctanθx+cz=0, da cui, eliminando c, si trova z=tanθx (risultato per altro ovvio procedendo in modo più sintetico).