Le due domande apparentemente slegate tra loro sono in realtà intimamente legate, in quanto la lipschitzianità è la componente essenziale del celebre Teorema di esistenza e unicità per un sistema di equazioni differenziali ordinarie.
Una funzione f : R -> R (per semplicità diamola definita dappertutto) si dice lipschitziana se esiste L>0 tale che
|f(x)-f(y)| ≤L|x-y| per ogni x,y ∈
R.
Sostanzialmente si sta richiedendo che i rapporti incrementali siano limitati. Ciò fornisce una interpretazione geometrica della lipschitzianità: una funzione lipschtiziana è una funzione che ha “derivata limitata”, anche se possono esserci funzioni lipschitziane che non sono derivabili (es. f(x)=|x|).
Dato un’equazione (o più in generale un sistema) differenziale ordinaria y'(x)=f(x,y(x)), con x ∈I, il Teorema di esistenza ed unicità locale afferma che se f è una funzione continua e localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile, ovvero esiste L>0 tale per cui |f(x,y1)-f(x,y2)| ≤L|y1-y2| per ogni x in un intorno di x0 e y1,y2in un intorno di y0, allora l’equazione data ammette una ed una sola soluzione locale tale per cui y(x0)=y0 (cioè definita in un intorno di x0).
Tale Teorema si applica con successo all’equazione del moto armonico, data da un’equazione lineare del secondo ordine del tipo
y”(x)+ky(x)=0, x ∈
I, k>0.
In realtà tale equazione è del secondo ordine, mentre il Teorema enunciato vale per problemi del primo ordine; quello che si può dimostrare è che ogni equazione differenziale ordinaria di ordine n è equivalente ad un sistema di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Vediamo come nel nostro caso: sia z(x)=y'(x). Allora l’equazione data può essere riscritta come z'(x)+ky(x)=0, affiancata dunque dall’equazione y'(x)-z(x)=0. Ecco che abbiamo ottenuto un sistema di due equazioni del primo ordine, nelle due incognite y(x) e z(x). In forma vettoriale si può anche scrivere
(y(x),z(x))’=(z(x),-ky(x)),
dunque la funzione f in tal caso vale f(x,y,z)=(z,-ky) che è localmente lipschitziana rispetto alle due variabili y e z. Facciamo infine notare che la condizione iniziale per avere unicità della soluzione diventa una doppia condizione: infatti occorre assegnare y(x
0) e y'(x
0).
Quanto alla risoluzione esplicita dell’equazione, essa deriva da considerazioni fisiche. Supponiamo di voler studiare il moto di un corpo collegato ad una molla giacente su una retta che esercita una forza attrattiva Fe=-ky, con k>0 e y distanza del corpo dall’origine. Allora per il secondo principio della dinamica si ha
my”(t)=-ky(t).
Ovvero y”(t)+k/m y(t)=0, che è un’equazione del secondo ordine. Quello che ci aspettiamo è che tale equazione abbia soluzioni periodiche, del tipo funzioni circolari. In effetti un conto diretto mostra che tutte le funzioni
y(t)=c sen[x√(k/m)+φ], c,φ costanti arbitrarie,
sono soluzioni. Infatti si ha
y'(t)=c cos[x√(k/m)+φ]√(k/m)
mentre
y”(t)=-c sen[x√(k/m)+φ](k/m).
Quindi si ha y”(t)+k/m y(t)=-c sen[x√(k/m)+φ](k/m)+k/m c sen[x√(k/m)+φ]=0. Imponendo ora due condizioni iniziali della forma (per esempio) y(0)=y
0 e y'(0)=v
0 (assegnare quindi posizione iniziale e velocità iniziale) è possibile determinare i valori delle costanti c e φ e così determinare l’equazione del moto, il quale viene detto
armonico semplice. Per quanto visto in astratto l’equazione data affiancata alle condizioni iniziali deve avere un’unica soluzione, per cui l’unica soluzione è quella trovata.
